Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные отображение в ЛВП. Предоставление линейных преобразований матрицамиЛине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин. Лине́йным отображе́нием векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (лине́йным опера́тором из LK в MK) над тем же полем K называется отображение , удовлетворяющее условию линейности f (x + y) = f (x) + f (y), f (α x) = α f (x). для всех и . Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля K как множество всех линейных отображений из LK в MK превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как
Линейное преобразование переменных x1, x2,..., xn — замена этих переменных на новые x"1, x’2,..., x"n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: Если определитель D = ½ aij ½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"1, x"2,..., x"n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат ... К Линейное преобразование относится, в частности, нулевое Линейное преобразование О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор): Ox = 0 и единичное Линейное преобразование Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы. В силу этих определений совокупность всех Линейное преобразование векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Линейное преобразование равна сумме (произведению) матриц Линейное преобразование слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Линейное преобразование можно также умножать на числа: если Линейное преобразование А переводит вектор х в вектор у = Ax, то a А переводит х в a у. Примеры операций над Линейное преобразование: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Линейное преобразование Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a. Линейное преобразование В называют обратным к Линейное преобразование А (и обозначают А -1), если BA = Е (или AB = Е). Если Линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то Линейное преобразование А- 1 переводит у обратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным; такие Линейное преобразование характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Линейное преобразование заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Линейное преобразование Ортогональные Линейное преобразование не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Линейное преобразование в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: åkaikajk = åkakiakj = 0 при i ¹ j, åka2ik = åka2ki = 1 (в комплексном пространстве åkaik jk = åkaki kj = 0, åk|ajk|2 = åk|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Линейное преобразование называют такое Линейное преобразование, матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = ij). Симметрические Линейное преобразование осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Линейное преобразование связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве). Приведённое выше определение Линейное преобразование в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Линейное преобразование в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.
|