Примеры решения задач по теме матрицы, свойства матрицы, умножение матриц, транспонирование матриц

Пример 1. Даны матрицы А и В:

Найти: а) А+В; б) 2В; АВ^Т; г) В^ТА.

Решение

а) по определению суммы матриц

б) по определению произведения матрицы на число

в) по определению транспонированной матрицы

г) по определению произведения матриц

д) по аналогии с пунктом г) находим

Пример 2. Для матрицы найти обратную матрицу
Решение:

Пусть, обратная матрица равна

По определению обратной матрицы А-1А=Е, то есть

Перемножая матрицы в левой части равенства и приравнивая элементы полученной матрицы соответсвующим элементам матрицы в правой части равенства, приходим к

системе уравнений откуда находим

Ответ:

Пример 3.
Вычислить определитель .
Решение:

Задачу можно решить двумя способами: а) найти определитель по правилу треугольника; б) разложить определитель D по элементам первого столбца и умножить их на алгебраические дополнения.
а) D=1•5•(-1)+(-2) •7•(-3)+2•4•0-0•5•(-3)-(-2) •2•(-1)-1•4•7=5
б) для нахождения определителя вторым способом воспользуемся формулой . Получим
Ответ: 5

Пример. 4 Вычислить определитель

Решение: преобразуем определитель D, не меняя его значения, таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме второго, стали равными нулю. С этой целью из первой строки вычтем вторую, умноженную на 2, к третьей строке прибавим вторую, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 4 (все эти действия не изменяют значения определителя). Получим

Ответ: -2006.