Расчет характеристик стратифицированной выборки

Характери­стики такой выборки рассчитываются как «взвешенные» величины: показатели по каждой страте комбинируются в общую среднюю; вклад групповых средних пропорционален «весу» каждой страты в выборочной или генеральной совокупности.

В стратифицированной выборке общая дисперсия выборки имеет как бы два источника: дисперсию групповых средних, которые характеризуют каждую страту s_x², и среднюю дисперсию из дисперсий внутри каждой из этих страт s²_i. Первую составляющую принято называть межгрупповой дисперсией, а вторую — внутригрупповой дисперсией.

Это записывается следующим образом: s= s_x² + s²_i (7)

Расчет средней ошибки при отборе, пропорциональном численности единиц в стратах, производится по формуле

или, если пренебречь отношением n/N,

В выражениях (8) и (9) s²_i вычисляется исходя из формулы (7), т. е. s²_i=s²-s²_x, где s² — общая дисперсия выборки — подсчитывается как для простой выборки, не принимая во внимание страти­фикацию.

Из соотношения для средней ошибки (7) следует, что ошибка стратифицированной выборки меньше средней ошибки чисто слу­чайной выборки либо равна ей, когда межгрупповая дисперсия равна нулю.

Пример. Предположим, что выборка содержит 5 страт (группы семей по среднему доходу⁶). Необходимо определить величину рас­ходов на годовую, подписку. Из каждой 2-й страты взяты по две семьи (объем выборки n = 10, см. табл. 19).

.

Таким образом, как видно из рассмотренного примера, страти­фицированная выборка при прочих равных условиях дает более точные результаты.

5. 5.Многоступенчатые и комбинированные способы, формирования выборочной совокупности

Выборка может строиться как одно или многоступенчатая. При многоступенчатом отборе на каждой ступени меняется единица отбора. Например, на первой ступени производится отбор промышленных предприятий, на второй — отбор бригад на предприя­тиях, попавших в выборку на первой ступени, на третьей — отбор рабочих из бригад, попавших в выборку на второй ступени отбора, и т. д.

Необходимость многоступенчатого отбора вызвана, как правило, отсутствием информации о всех единицах генеральной совокупности. При многоступенчатом отборе для организации первой ступени не­обходимо иметь информацию о распределении' того или иного приз­нака по всей совокупности единиц отбора первой ступени. Для организации второй ступени нужна уже только информация об отобранных единицах первой ступени.

На первой ступени, как правило, используется случайный отбор, а, начиная со второй ступени случайно отбирается количество еди­ниц, пропорциональное размеру соответствующей единицы преды­дущей ступени и т. д.

Доли отбора на каждой ступени комбинируются таким образом, чтобы в целом доля отбора выборки обеспечивала всем единицам генеральной совокупности равные шансы попасть в выборку.

Пропорциональный способ организации многоступенчатой вы­борки имеет определенные неудобства. Социолог, с одной стороны, уменьшает объем выборки в целях экономии средств и сокращения сроков проведения исследования, а с другой,— соблюдая принцип пропорциональности, он может получить очень малочисленные группировки по отдельным факторам, которые окажутся недостаточ­ными для статистического анализа.

Существует несколько способов формирования многоступенчатых выборок.

Для примера рассмотрим способ организации двухступенчатой выборки, отбор единиц которой на первой ступени осуществляется с вероятностью, пропорциональной размеру. Воспользуемся для при­мера условиями и задачами организации выборки в известном ис­следовании ленинградских социологов.

Единицы первой ступени отбора — предприятия города.

Составляется полный список единиц наблюдений первой ступени отбора — промышленных предприятий и численности молодых рабочих на каждом из них. Генеральная совокупность включала 50 таких предприятий.

Единицы отбора ранжируются по численности рабочих, выделенных в качестве единиц наблюдения принимается решение о вклю­чении в выборку определенного числа заводов, например пяти. По таблице случайных чисел выбирается чисел (М₁, М₂, М₃, М₄ и М₅)между N₁ и N (общей кумулированной численностью рабочих в генеральной совокупности). В выборку включаются те предприятия, чьи номера оказались в той же строке (j), которая соответствует кумуляте, содержащей одно из чисел М_k k=1/5 т. е. i = f, если N₁+N₂+…+N_j-1< М_k < N₁, + N₂ +…+ N_j по всем k.

Вторая ступень отбора реализуется следующим образом. На каждом предприятии, включенном в выборку; выбирается одно и то же число рабочих (единиц второй ступени отбора). Далее отбор может быть случайным или систематическим.

Ошибка многоступенчатой выборки (на примере двухступенча­той выборки). При многоступенчатом отборе (начиная с двухсту­пенчатого) следует учитывать специфику расчета ошибки выборки. Каждая ступень отбора делает свой «вклад» в отклонение находи­мых оценок от истинных значений характеристик в генеральной совокупности.

Для достаточно большого объема выборки существуют упрощенные формулы расчета средней ошибки.

где s²₁ —дисперсия единиц первой ступени отбора и n¹ —их числен­ность; n²₂ —дисперсия единиц второй ступени отбора и n² — их численность в составе единиц первой ступени отбора в выборке.

В формуле учтены оба источника ошибок репрезентативности при двухступенчатом отборе. Первый член формулы под корнем указывает на дисперсию, вызванную формированием первой - ступе­ни отбора. Второй член указывает на внутригрупповую дисперсию, связанную с организацией второй ступени выборки.

Упрощенность этой формулы состоит в том, что внутригрупповые дисперсии рассчитываются внутри каждой единицы первой ступени после отбора из нее единиц второй ступени. Здесь указана «невзвешенная» средняя из квадратов ошибок по всей сумме единиц второй ступени (n²). Это второй источник случайных ошибок.