Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам одной точки, дирекционному углу и расстоянию до другой определяют координаты последней. При вычислениях чаще всего дирекционные углы переводят в румбы. Прямая геодезическая задача решается и при вычислении координат вершин полигонов.

Дано: х₁; у₁ – координаты начальной точки; α_1-2; α_2-3; α_3-4; α_4-5; α_5-1 - дирекционные углы сторон полигона. d_1-2; d_2-3……d_5-1 - горизонтальные проложения сторон полигона. Найти: х₂ и у₂; х₃ и у₃…..х₅ и у₅. Разница между координатами соседних точек называется приращением координат: х₂ – х₁=Δх_1-2; у₂ – у₁=Δу_1-2. Отсюда

х₂=х₁+Δх_1-2; у₂=у₁+Δу_1-2.

Из треугольника следует: Δх_1-2=d_1-2∙cosr_1-2;

Δу_1-2= d_1-2∙sinr_1-2.

Из рисунка следует: х₃=х₂+Δх_2-3; у₃=у₂+Δу_2-3;

Δх_2-3=d_2-3∙cosr_2-3; Δу_2-3= d_2-3∙ sinr_2-3. Перейдем к общему случаю: х_n=х_n-1+Δх_n;

у_n =у_n-1+Δу_n; Δх_n= d_n∙cosr_n; Δу_n= d_n sinr_n.

При вычислениях учитываются знаки приращений координат в зависимости от четверти, в которую направлена линия. Если использовать дирекционные углы, то знаки перед приращениями координат получаются сами собой.

Координаты n – ой точки полигона можно выразить и через координаты первой точки.

х₂=х₁+Δх_1-2

х₃=х₂+Δх_2-3=х₁+ (Δх_1-2+ Δх_2-3)

х₄=х₃+Δх_3-4= х₁+ (Δх_1-2+ Δх_2-3+ Δх_3-4)

х_n= х₁+ и у_n=у₁+ ;

здесь суммы приращений координат. Отсюда запишем:

х_n - х₁= у_n – у₁= .

В случае замкнутого полигона, когда, обойдя все вершины поочередно, мы возвращаемся в исходную, х_n - х₁=0 и у_n – у₁=0.

_теор.=0 и _теор.=0.

Однако в связи с ошибками в угловых и линейных величинах эта сумма будет несколько отличаться от 0. Мы возвратимся не в точку 1, а в 1΄.Полученная разница в суммах приращений координат называется невязкой.

_изм.=f_х≠0 – невязка по х;

_изм.=f_у ≠0 – невязка по у.

Для оценки точности полигона вычисляют абсолютную невязку:

(1 - 1΄)=f_абс.= ,

а затем относительную ошибку:

f_отн.= ; Р – периметр.

Если условие неравенства выполняется, полученную невязку по осям координат распределяют в вычисленные приращения в виде поправок, с обратным невязке знаком, пропорционально значениям горизонтальных проложений: большую поправку в большее значение проложения.

Обратная геодезическая задача заключается в вычислении дирекционного угла и горизонтального проложения линии, по известным координатам ее начальной и конечной точек. Из предыдущих рисунков видно, что

d= ; tgr= ; r=arctgr;

d= = .

Дирекционный угол находят по полученному румбу, учитывая четверть, в которую направлена прямая. Четверть определяется по знакам приращений координат:

1 четверть α=r; 2 четверть α=180° - r;

3 четверть α=r+180°; 4 четверть α=360° - r.

План, карта, профиль (определение, основные признаки)

План есть уменьшенное и подобное изображение на бумаге горизонтальной проекции сравнительно небольшого участка местности. Размеры участка до 25 км² – в этом случае не учитывается кривизна Земли. Степень уменьшения изображения сравнительно небольшая: 100, 200, 500…5000раз. Для удобства пользования на планах наносится координатная сетка. Планы могут быть: горизонтальными (контурными) высотными и контурно – высотными (топографическими).

Карта – уменьшенное и закономерно искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение на бумаге горизонтальной проекции значительной части или всей земной поверхности. Степень уменьшения больше по сравнению с планом: 10000 раз, 50000…... Искажения происходят из–за невозможности развертывания сферических поверхностей (геоид, эллипсоид) в плоскость (бумага плоская) без разрывов и складок. На картах наносят градусные и километровые сетки. Все карты контурно – высотные (топографические).

По планам и картам можно решать ряд задач:

Определение расстояний между точками.

Определение прямоугольных и географических координат точек.

Определение абсолютных отметок точек.

Ориентирование линий местности.

Построение профилей по заданным направлениям.

Определение крутизны ската.

Определение водосборной площади и другие.

Профиль местности есть линия пересечения земной поверхности с отвесной (вертикальной) плоскостью, расположенной в заданном направлении (PQ).Его уменьшенное изображение на бумаге также называется профилем. Направление сечения может быть прямолинейным, ломаным или криволинейным.

12. Задачи, решаемые на планах и картах.

По планам и картам можно решать ряд задач:

Определение расстояний между точками.

Определение прямоугольных и географических координат точек.

Определение абсолютных отметок точек.

Ориентирование линий местности.

Построение профилей по заданным направлениям.

Определение крутизны ската.

Определение водосборной площади и другие.

1.Физическая поверхность – совокупность всех неровностей суши и дна океанов, а также поверхности воды. Она не может быть выражена конечным математическим уравнением, поэтому используется для решения лишь некоторых практических задач геодезии.

2.Уровенная поверхность – поверхность воды Мирового океана в спокойном состоянии, мысленно продолженная под материками. В 1873 году немецкий ученый Листинг назвал ее поверхностью геоида. Океаны составляют 71%, суша – 29%. Поверхность воды всюду горизонтальна, т.е. перпендикулярна к отвесным линиям (направление силы тяжести). Поверхность суши и дна океанов изучают относительно поверхности геоида. Расстояния от точек физической поверхности Земли до уровенной поверхности по направлению отвесных линий называют высотами точек, а их числовое выражение называют отметками. Они могут быть положительными и отрицательными. В России за поверхность, совпадающую с геоидом, принята поверхность Балтийского моря (ноль Кронштадского футштока). Высоты, отсчитываемые от уровня Балтийского моря, называются абсолютными, от другой какой – либо уровенной поверхности – условными. Геоид пригоден для решения практических задач. Для теоретических расчетов он не пригоден, так как не имеет конечного математического выражения из-за непостоянства направления отвесных линий вследствие неравномерного распределения масс внутри Земли. Кроме того, уровень поверхности воды в различных океанах различен; имеются приливы и отливы.

3.Поверхность эллипсоида вращения получается при вращении эллипса вокруг малой (полярной) полуоси. Эллипсоид характеризуется тремя величинами: а – большая полуось, в – малая полуось,

.

Эллипсоид ориентируется в теле Земли определенным образом. Постановлением Совета министров СССР в апреле 1946 года в нашей стране для геодезических работ принят эллипсоид Красовского Ф.Н. Его размеры:

а=6378245 м, в=6356863 м.

Эллипсоид, относительно которого ведутся все геодезические работы в данной стране, называется референц-эллипсоид.

4. Для решения многих практических задач достаточно за фигуру Земли принять шар с радиусом R=6371 км.