Пример решения задания 1

Задание. Определить максимальную прибыль предприятия выпускающего продукцию в виде трех видов (i=1,2,3). Для изготовления каждого i-го изделия требуются три вида ресурсов: энергетические, финансовые и сырьевые. Решить графически.

Исходные данные:

Таблица исходных данных для решения задачи:

· наличие на предприятии каждого j-го ресурса b_j;

· норма расхода j-го ресурса на одно изделие i-го вида a_ij;

· прибыль z_i от реализации одного i-го изделия;

· минимальное количество b₄ всех видов изделий, которое предприятие должно выпустить.

Математическая модель:

Необходимо найти такие (переменные) при которых значение целевой функции стремится к максимальному значению:

При этом существуют ограничения:

· норма расхода j-го ресурса на одно изделие i-го вида a_ij:

· минимальное количество b₄ всех видов изделий, которое предприятие должно выпустить:

· принимают целые неотрицательные значения

Решение:

Построение плоскостей будем вести в программе AutoCAD. Построим плоскости ограничений, описанных выше с учетом исходных данных (рис. 2). По ось x – количество продукции x₁,по y – x₂, по z – x₃.

Рис. 2. Плоскости ограничений

Для получения итогового объекта (рис. 3) преобразуем все плоскости в трехмерные объекты, далее используем булеву операцию пересечение.

Рис. 3. Итоговый объект

Построим плоскость целевой функции, приняв ее значение, например 10. Для удобства объект повернут (рис.4).

Рис. 4. Построение плоскости целевой функции

Перемещаем плоскость целевой функции параллельно самой себе в направлении положительных значений осей до тех пор, пока не останется одна вершина (рис. 5).

Рис. 5. Выбор оптимальной вершины

Из рисунка 5 видно, что оставшаяся вершина лежит в плоскости y = 0, то есть наибольшее значение целевая функция принимает при x₂ = 0.

Построим проекцию на плоскость XZ (именно на ней x₂ = 0).

Рис. 6 – Проекция на ось ZX (Цветными линиями показаны ограничения со знаком меньше либо равно (ограничения по ресурсам), черной линией – ограничение со знаком больше (по минимуму выпускаемой продукции), пунктирной – целевая функция). По оси x – x₃, по оси y- x₁

Замер по модели показал, что координаты вершины соответствуют значениям количества продукции:

x1=20 x2=0 x3=0

Так как полученное значение является целочисленным, то этот вариант будет наилучшим.