Метод корневых годографов

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Если ПФ замкнутой САР:

где: m < n,

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K,..., T _i,..., ), то изменения в ПФ (s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: m, h, W₀. Наиболее эффективен метод при выборе K.

Рассмотрим идею построения траекторий корней. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

, (*)

здесь s - не оператор Лапласа или дифференцирования, а любая точка на одной из возможных траекторий корней, которые мы хотим построить варьируя K!!!

Если корни - полюсы и нули известны (q ₁^o, q ₂^o,..., q_m ^o; q ₁^x, q ₂^x,..., q_n ^x), то операторную часть ПФ - G ₁(s) можно представить в виде:

где: ; n > m.

Представим сомножители (s - q _i) векторами:

.

Теперь вновь запишем ХУ:

.

При изменении K от 0 до бесконечности уравнения (1) и (2) определяют правила движения корней:

1. Если K =0, то корни ХУ (*) совпадают с полюсами W (s), т.к. G (s) должна стремится к бесконечности.
2. Если K ®¥, то часть корней ХУ (*) совпадают с нулями W (s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G (s)®0 как при совпадении s с нулями, так и при s ®¥. Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

(p+2 i p) / (n - m), где: i =1,2,..., n - m.