Критерий устойчивости Михайлова

Чтобы все корни ХУ:

a ₀ s ⁿ + a ₁ s ^{n -1} +... + a_{n -1} s + a_n = 0,

имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полном D (s) полное приращение его фазы при изменении w от 0 до ¥ составляло n p/2, где: n - степень полинома D (s). При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую - "годограф Михайлова".

Док-во: Представим D (s) в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку s = j w:

D (j w) = a ₀ (j w - s ₁) (j w - s ₂)... (j w - s_n),

где: s ₁, s ₂,..., s_n - корни ХУ. Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них. Возможны четыре основных варианта:

Пусть s_i =a, - вещественный положительный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (j w - a) при изменении w от 0 до ¥ повернется на угол -p/2.

Пусть s_i =-a, - вещественный отрицательный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (j w + a) при изменении w от 0 до ¥ повернется на угол p/2.

Пусть s_{i ; i +1}=a± j b, - сопряженные корни с положительной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей (j w - a - j b)(j w - a + j b) при изменении w от 0 до ¥ повернутся на углы -p/2+g, и -p/2-g. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный -p.

Пусть s_{i ; i +1}=-a± j b, - сопряженные корни с отрицательной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей (j w + a - j b)(j w + a + j b) при изменении w от 0 до ¥ повернутся на углы p/2-g, и p/2+g. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный p.

Резюме: Если ХУ имеет l корней с положительной вещественной частью, то угол поворота годографа D (j w) при изменении w от 0 до ¥ составит:

y = - l p/2 + (n - l) p/2 = n p/2 - l p,

где: n - порядок ХУ.