Условие устойчивости. Типы границы устойчивости

Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма экспоненциальных функций:

.

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:

Заметим, что:

C ₁ e ^{-(a+ j b) t} + C ₂ e ^{-(a- j b) t} = A e ^{-a t} sin(b t +j),

где: A и j - новые постоянные интегрирования, a - показатель затухания, b - круговая частота затухающих колебаний.

Таким образом, для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, те лежали слева от мнимой оси плоскости корней.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

• нулевого корня,
• пары чисто мнимых корней,
• бесконечного корня.