Пространство состояний

Пространство состояний (ABCD-форма) - матричная форма записи системы ДУ САУ адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений связывающих внутренние координаты САУ с выходной(ыми). Применяется для описания САР большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.

Изображенная на рисунке блок-схема позволяет решить систему ДУ представленную в форме "Пространства состояний":

(3)

где:

• x_{m x 1} - вектор входных переменных;
• y_{k x 1} - вектор выходных переменных;
• u_{n x 1} - вектор переменных состояния (фазовых координат системы);
• A_{n x n} - матрица коэффициентов системы;
• B_{n x m} - матрица входных коэффициентов (матрица управления);
• C_{k x n} - матрица выходных коэффициентов;
• D_{k x m} - матрица коэффициентов пропорциональных каналов (матрица компенсации);
• n - порядок системы; m - кол-во входов; k - кол-во выходов (m < n).

О форме "Пространство состояний":

• Это вторая по частоте применений форма записи ДУ в ТАУ.
• Признана стандартом для программ математического моделирования VisSim, Simulink, и т.д., однако в большинстве случаев реализована в SISO-форме (с одним входом и одним выходом). Моделирующие программы для выполнения анализа (символьного или частотного) сводят любую модель пользователя к пространству состояний, заполняя в ходе первых шагов симуляции коэффициенты ABCD-матриц.
• Как правило, используется для построения моделей тех больших не поддающихся модуляризации, но не сложных систем, описание которых оптимально в матричной форме (таких мало). Для записи уравнений используются такие методы как: "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов", - а так же их эквиваленты для других энергетических доменов (гидравлического, теплового, механического,...).
• Матричное описание строго формализовано, и не требует понимания физической природы системы. Так же структура модели в "пространстве состояний" не позволяет разобраться во внутренней природе системы. Если эта форма записи ДУ применена обосновано, то модель, скорее всего, будет истинной.

ДУ решенное относительно регулируемой величины y (t) - уравнение движения

Система ДУ (1) может быть преобразована к одному уравнению путем исключения промежуточных координат (обычно выходную координату выражают через координату задания):

.

Результатом подобного преобразования является уравнение движения системы:

D (p) y (t) = R (p) g (t) - N (p) f (t), (4)

где:

• D (p) = a ₀ pⁿ + a ₁ p^{n -1} +... + a_{n -1} p + a_n - характеристический полином;
• R (p) = D (p) - Q (p) = b ₀ p^m + b ₁ p^{m -1} +... + b_{m -1} p + b_m - коэффициенты этого полинома определяют влияние задающего воздействия g (t) на регулируемую координату у (t), причем его степень меньше степени характеристического полинома, т.е. m < n;
• N (p) = d ₀ p^k + d ₁ p^{k -1} +... + d_{k -1} p + d_k - коэффициенты полинома определяют влияние помехи f (t) на систему.

ДУ решенное относительно ошибки x (t) - уравнение ошибки

Если система ДУ (1) решается относительно ошибки системы, то получается уравнение ошибки замкнутой системы:

D (p) x (t) = Q (p) g (t) + N (p) f (t) (5)

где:

• D (p) = a ₀ pⁿ + a ₁ p^{n -1} +... + a_{n -1} p + a_n - характеристический полином;
• Q (p) = D (p) - R (p) = c ₀ pⁿ + c ₁ p^{n -1} +... + c_{n -1} p + c_n - коэффициенты полинома определяют влияние задающего воздействия g (t) на ошибку x (t);
• N (p) = d ₀ p^k + d ₁ p^{k -1} +... + d_{k -1} p + d_k - коэффициенты полинома определяют влияние помехи f (t) на систему.