После ряда преобразований этого выражения получим

(14.9)

ПРИМЕР 14.4. Определим корректирующий множитель к цене по данным примера 14.1 (вариант б) при условии, что d = 4,75%. В этом случае согласно формуле (14.9)

4 + 1 / 2 х4 + 2^>
z = 1 + —-—0,05 - 0,0475 - 0,05 х 0,0475 х---------------------

= 0,988437.

Корректирующий множитель равен 1/0,988437 = 1,0116977. Как видим, нужна более существенная корректировка цены, чем по варианту а.

Перейдем теперь к корректировке условий сделки с помо­щью изменения ставки процента за кредит. Единственное зна­чение /, при котором продавец не терпит убытки в варианте б, нетрудно определить из условия, согласно которому z = 1. Для того чтобы удовлетворить это требование, необходимо выпол­нение условия, которое следует из (14.9):

/ - d = id

Откуда

'- 2л+1,- <¹⁴¹⁰>

1------------ а

Г - , °f™ ------------ =0.0553935.

, _!2L±±J-₀.0475 3

Таким образом, у покупателя имеются две возможности для компенсации потерь при учете портфеля векселей — повысить цену товара на 1,0116977 или увеличить ставку за кредит до 11,0787% годовых.

Корректировка цены и ставки по кредиту приводит пример­но к одинаковым конечным результатам, однако обычно на­блюдается небольшое различие в суммах векселей. Для иллюст­рации сказанного обратимся к примеру.

ПРИМЕР 14.6. Первоначальные условия сделки: Р - 1200 тыс.руб., ставка по кредиту за полугодие — 3%, учетная ставка за полугодие — 4,5%. Проценты начисляются на сумму векселя (ва­риант б). Выписывается шесть векселей с последовательным по­гашением по полугодиям. Поскольку / < d, то сразу можно ска­зать, что необходима корректировка исходных условий. Корректи­рующий множитель, рассчитанный по формуле (14.9), составит 1,07872. Таким образом, сумма векселя с поправкой, но без на­численных процентов равна 200 х 1,07872 = 215,74. Суммы век­селей с начисленными процентами по ставке 3% показаны в табл.14.2.

Применив второй метод корректировки, находим

0,0475

^Г=. 2x6 + 1 ^Г^⁰'⁰⁵⁵⁹'
1--------- — 0,45

Значения сумм векселей, полученных наращиванием 200 тыс.руб. по ставке 5,59%, приведены в табл.14.2.

Таблица 14.2

Нетрудно убедиться в том, что при любом методе корректи­ровки продавец получит сумму, равную оговоренной цене (1200), как это и требовалось доказать. Небольшое различие между ито­говыми суммами векселей (и дисконта) объясняется тем, что рас­пределение платежей по срокам несколько различается. В пер­вом случае оно более равномерно (минимальная сумма — 222,22, максимальная — 254,58), во втором — первый вексель выписыва­ется на сумму 211,18, последний — на 267,08. Указанный неболь­шой сдвиг приводит к увеличению общей суммы платежа по век­селям, а также суммы дисконта.

§14.3. Анализ позиций покупателя и банка

Совокупные издержки покупателя. Последовательность пога­шения векселей можно рассматривать как поток платежей. Со­вокупные издержки покупателя с учетом фактора времени рав­ны современной стоимости этого потока. В § 14.2 было показа­но, что сумма векселя может быть получена двумя путями. На­помним: вариант а — проценты по кредиту начисляются на ос­таточную сумму долга, вариант б — проценты начисляются на сумму погашения основного долга по векселю. Определим со­вокупные издержки покупателя для этих двух вариантов с уче­том того, что условия сделки сбалансированы, т.е. с необходи­мой корректировкой цены.

Вариант а. Для этого варианта современная величина плате­жей по векселям (приведенные совокупные издержки покупа­теля) составит

W_a= -2>,v'=— 2[1 +(/!-/+ l)/]v', (14.11)

где v — дисконтный множитель по рыночной процентной став­ке q.

Мб = Т^Г7^Г(262,5 х 1.07238"¹ + 275 х 0,07238"² + ⁶ 0,988437

+ 287,5 х 1,07238"³ + 300 х 1.07238"⁴) = 954,92.

Как видим, такой способ начисления процентов при условии, что q > /', дает сумму совокупных издержек, которая чуть меньше, чем у варианта а.

Минимизация издержек. Современная стоимость издержек покупателя зависит от всех параметров операции, причем при q > i всегда наблюдается соотношение W₆ < W_a. Иначе говоря, совокупные издержки покупателя меньше при начислении про­центов по варианту б. Причем, чем больше п и q, тем больше разность современных стоимостей потоков платежей, соответ­ствующих двум вариантам начисления процентов.

В табл. 14.3 иллюстрируется влияние роста учетной ставки на приведенные издержки покупателя (вариант 1). Влияние процентной ставки / на величину приведенных издержек неод­нозначно. В некоторых случаях ее рост приводит к увеличению W, в других — к уменьшению. Однако в любом случае это вли­яние мало ощутимо. Оно становится заметным лишь при боль­ших значениях п. В этой же таблице приводятся данные, хара­ктеризующие W₆ для разных значений / (варианты 2 и 3). При расчете совокупных издержек приняты следующие параметры: Р = 1000, q = 0,1. В варианте 1 п = 10, / = 0,06; в варианте 2 п = 10, d = 0,07; в варианте 3 п = 8, d = 0,05.

Наиболее интересной и практически важной является зави­симость современной стоимости издержек от количества после­довательно погашенных векселей л. Нетрудно обнаружить, что при одних сочетаниях исходных параметров операции (/, d, q) значение Сможет расти, при других — падать. Более того, при некоторых сочетаниях параметров существует такое количест­во векселей, при котором совокупные издержки покупателя ста­новятся минимальными. Строгий аналитический подход для оп­ределения оптимального п приводит к громоздким математиче­ским выражениям. Проще рассчитать ряды показателей для за­данного набора параметров и выбрать оптимальное значение п.

Таблица 14.3 Суммарные приведенные издержки импортера

Таблица 14.4 Суммарные приведенные издержки покупателя

В табл. 14.4 приводятся характеристики суммарных издержек W₆ в зависимости от п для трех вариантов условий. Во всех ва­риантах Р = 1000, q = 0,1. В варианте 1: d = 0,05, / = 0,04; в ва­рианте 2: d =0,06, / = 0,04; в варианте 3: d = 0,07, / = 0,06. По данным этой таблицы и из дополнительных расчетов следует, что величина ставки d заметно влияет на значение л, соответ­ствующее минимальной величине издержек. Например, при

*2

^{1 L}—^L—^J—►„

Рис. 14.1

низком значении учетной ставки (d = 0,04) минимум издержек приходится на п = 13. Повышение rf до 0,06 сдвигает оптималь­ное для импортера число п до 8. При d = 0,07 оптимальное п равно 5. Графическая иллюстрация влияния п на точку оптиму­ма приведена на рис. 14.1.

Изменение ставки / практически не отражается на положе­нии точки оптимума. Например, если в варианте 2 эта ставка была бы не 0,04, а 0,06, то оптимальным опять оказалось бы /1 = 8.

Влияние ставки q однозначно — чем она выше, тем меньше величина совокупных издержек. Ее повышение при всех прочих равных показателях отодвигает точку оптимума. Так, если в ва­рианте 2 принять q = 0,15 вместо 0,1, то точка оптимума сдви­нется до п = 12. Соответствующие значения суммарных издер­жек показаны в табл. 14.4 (в скобках в варианте 2).

Анализ позиции банка. Банк или другое финансовое учрежде­ние, участвующее в форфейтной сделке путем учета векселей, берет на себя весь риск по проведению операции и заинтересо­ван в получении дохода от инвестированных в векселя средств. Доходность операции определяется учетной ставкой. Посколь­ку общепринятым измерителем эффективности финансовых долгосрочных операций является ставка сложных процентов, то ее анализ с позиции банка заключается в расчете такой ставки. Последняя эквивалентна учетной ставке d, примененной при учете комплекта из п векселей с последовательными сроками погашения.

При условии, что Р и V_t сбалансированы, можно написать:

Р «^КУ, (14.13)

где v — дисконтный множитель по неизвестной ставке g, хара­ктеризующей доходность учета портфеля векселей.

Теперь задача сводится к определению корня многочлена степени п. Как известно, такая задача решается одним из ите­ративных вычислительных методов, с которыми мы знакоми­лись в предшествующих главах. Рост учетной ставки, естествен­но, оказывает положительное влияние на g. С увеличением п величина g также растет.

ПРИМЕР 14.9. По данным примера 14.1 суммы векселей после корректировки составят (вариант б): 265,57; 278,22; 290,86; 303,51. Необходимое для расчета д уравнение имеет вид

1000 = 265,57v + 278,22v² + 290,86v³ + 303.51И.

Находим: v = 0,95039 и д = 5,22%. Поскольку процентная став­ка рассчитана за полугодие, то для получения годовой ставки сложных процентов находим 1.0522² = 1,1071, т.е. 10,71%.

Итак, при выработке условий конкретной сделки а форфэ необходим ее всесторонний количественный анализ с позиции заинтересованных сторон, так как финансовые результаты сделки не очевидны и существенно зависят от значений приня­тых параметров.

Из приведенного выше материала следует, что для продавца, который остерегается существенного повышения цены и в то же время стремится компенсировать свои потери, средствами упра­вления являются: снижение учетной ставки, повышение ставки процентов за кредит, уменьшение числа векселей (периода по­гашения). Средствами управления для покупателя являются в основном параметры dn п. Большая величина параметра /игра­ет отрицательную роль лишь при очень высоких значениях л.

Как было показано, в ряде практических случаев современ­ная величина издержек импортера может быть минимизирова­на. Таким образом, основная задача покупателя — найти значе­ние л, минимизирующее современную стоимость издержек им­портера. Основным инструментом, воздействующим на эффек­тивность сделки, для банка является учетная ставка.