Сравнение роста по сложным и простым процентам

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по раз­ным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствую­щие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):

— для срока меньше года простые проценты больше слож­
ных:

(1 + ni_s) > (1 + /)«,

— для срока больше года сложные проценты больше про­
стых:

(1 + ni_s) < (1 + /)«,

— для срока, равного году, множители наращения равны
друг другу.

Заметим также, что при п > 1 с увеличением срока разли­чие в последствиях применения простых и сложных процен­тов усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения множителей наращения см. на рис. 3.3. В табл. 3.1 приведены значения множителей наращения для /₅ = / = 12%, К = 365 дней.

Рис. 3.3

Таблица 3.1

Формулы удвоения. Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. На основе (2.1) и (3.1) получим следующие формулы удвоения:

— удвоение по простым процентам:

п =

удвоение по сложным процентам:

1п2 0,69315

1п(1 + /) 1п(1 + 0

ПРИМЕР 3.5. Найдем сроки удвоения для /_s = / = 22,5%:
1.. In2

= 4,44; п =

§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. В современных условиях проценты капи­тализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерче-

ские банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно восполь­зоваться формулой (3.1). Параметр п в этих условиях будет озна­чать число периодов начисления, а под ставкой / следует пони­мать ставку за соответствующий период. Например, при поквар­тальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5 х 4 = 20. Множитель наращения по квар­тальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,08²⁰ = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% го­довых с поквартальным начислением" процентов.

Итак, пусть годовая ставка равна у, число периодов начисле­ния в году — /и. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку у называют номинальной (nominal rate). Формулу на­ращения теперь можно представить следующим образом:

S=p(l+A^N, (3.7)

где N — общее количество периодов начисления.

Если N целое число (N = л/и), то в большинстве случаев для определения величины множителя наращения можно восполь­зоваться таблицей сложных процентов (табл. 2 Приложения). Например, при у = 20% и поквартальном начислении процен­тов (т = 4) в течение 5 лет отыскиваем табличное значение множителя для / = 20/4 = 5% и п = 5 х 4 = 20; находим q = 2,653298.

ПРИМЕР 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не раз в году, а поквартально. В этом слу­чае N = 20 и

S = 1 000 000| 1 + °'^⁵⁵|²⁰ = 2139049,01 руб.

Напомним, что при ежегодном начислении процентов мы по­лучили S = 2055464,22.

Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Для иллюстра­ции сказанного приведем значения множителей для J = 20% и п = 10 лет и разной частоте наращения в пределах года:

Как следует из приведенных данных, наибольшую "прибав­ку" в наращении дает переход от ежегодного начисления про­центов к полугодовому, наименьший эффект — переход от еже­месячного к ежедневному.

ПРИМЕР 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 тыс.руб., проценты сложные, став­ка 20% годовых, начисление поквартальное?

По условиям задачи число периодов начисления Л/ = 25: 3 = = 8 1/3. Применим два метода наращения — общий и смешанный (см. (3.6)). Получим

₈!

S «500 OOof 1 + ^р] ³ - 75084ft04 руб., S = 500 000И + -^-)⁸ х И + у х -^-] = 751039,85 руб.

Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие — дейст­вительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же ре­зультат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.