Производная. Применение производных для исследования функций

Предел

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

| y— A|<е, при | х —a|<δ

Основные теоремы о пределах Предел постоянной величины

limА=А.

Производная. Применение производных для исследования функций

Производной функции f(x)называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке хпри стремлении Δх к нулю:

Производные некоторых функций:

постоянной величины	у=С:	ý=0;
степенной функции	у = хμ:	ý=μxμ-1
показательной функции в частности, если	у = аx: у = ех то	ý=axlna; ý= еx;
логарифмической функции натурального логарифма	y=logax   у = lпх
тригонометрические функции:	y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx.	y'=cosx; ý =— sin x;
обратных тригонометрические функции:	y=arcsinx   y=arccosx     y=arctgx   y=arcctgx
Производная суммы (разности) функций	y = w±u:	y' = u'±v'
Производная произведения двух функций	y=uv	y' = u'v + v'u.
Производная частного двух функций	y=u/v:
Производная сложной функции	y = f1(u), если y = f2(x),	у'x = у'ии'x

Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]

f'(x)>0

Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]

f'(x)<0

Условие максимума функции y=f(x)при x= а

f'(a)=0 и f'' (a)<0

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с «-» на «+» Если f'(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функ­ции экстремума нет