Законы излучения

Рассмотрим две непрерывные поверхности, расстояние между которыми мало по сравнению с их размерами (рис.). Поглощательную способность поверхности 1 обозначим а₁, а поглощательную способность абсолютно черной поверхности (0) через а₀ =1. Поместим между поверхностями абсолютно прозрачный экран лишь для лучей длиной волны λ. Остальное излучение экран полностью отражает. Температуры экрана и поверхностей равномерны и одинаковы, т.е. они находятся в температурном равновесии.

Плотность излучения от поверхности 0 → 1 обусловлено только собственным излучением поверхности 0 и равно Е_λо. Плотность излучения от поверхности 1 → 0 складывается из собственного излучения поверхности 1 и отраженного ею излучения поверхности 0 и равно Е_λ1+(1 – а_λ) Е_λо. Поскольку система находится в тепловом равновесии, то

Е_λо= Е_λ1+(1 – а_λ) Е_λо.

Из уравнения , или .

Отношение плотности излучения тела к его поглощательной способности при данной температуре и длине волны есть величина постоянная.

Следствия из закона Кирхгофа:

§ Так как длина волны была выбрана произвольно и поглощательная способность тела не может быть больше единицы, то при любой длине волны плотность излучения абсолютно черного тела больше, чем любого другого, находящегося при этой же температуре.

§ Так как свойства поверхности 1 не оговаривались, то равенство (3.19) справедливо для всех других поверхностей с той же температурой:

.

Законы Планка и Вина

Спектральное распределение плотности потока (Вт/м³) полусферического излучения абсолютно черного тела определяется законом Планка: , где с₁ и с₂ – константы. На рис. представлено спектральное распределение плотности потока полусферического излучения абсолютно черного тела при фиксированных температурах.

Как видно из графика, с увеличением температуры аб­солютно черного тела макси­мум излучаемой энергии сме­щается в область более корот­ких длин волн. Штриховая ли­ния, проходящая через точки максимумов изотерм, соответ­ствует закону смещения Вина, согласно которому

λ_maxT = 2897,8 мкм ·K.

Закон Стефана–Больцмана

Зависимость интегральной сферической плотности излучения абсолютно черного тела от температуры была получена экспериментально И. Стефаном (1879 г.) и на основании термодинамики Л. Больцманом (1884 г.).

,

где σ_о = 5.7 · 10^-8 Вт/м²·К⁴ – коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Эта формула является основной при всех расчетах лучистого теплообмена. Поскольку величина σ_о мала, а Т⁴ высока, используют формулу:

,

где с_о = 5.7 Вт/м²·К⁴ – приведенный коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Излучение реальных тел. Серое тело

Коэффициент поглощения реальных тел зависит от их природы и состояния поверхности: степени шероховатости, наличия окисных пленок, загрязнений и др. Монохроматический коэффициент поглощения всех реальных тел (твердых, жидких, газообразных) неодинаков для волн различных длин.

Если поглощательная способность a_α является величиной переменной, то в соответствии с законом Кирхгофа степень черноты e_l также изменяется с изменением длины волны l.

Излучение тела, степень черноты которого изменяется в зависимости от длины волны, называется селективным. Наибольшей селективностью обладают газы, наименьшей – твердые диэлектрики с шероховатой поверхностью.

Излучение реальных тел не является идеально диффузным, поэтому яркость лучей, уходящих с поверхности под большими углами к нормали, не остается постоянной (рис.).

b_b – b = f(b), где b – яркость, b_о – яркость излучения абсолютно черного тела.

Чтобы облегчить технические расчеты, вводят понятие о сером теле.

Серым называется такое тело, яркость которого одинакова во всех направлениях, а степень черноты постоянна.

.

Реальные тела в технических расчетах рассматриваются как серые. В этом случае можно считать, что поглощательная способность тела равна его степени черноты (а = e).

Теплообмен между серыми телами в лучепрозрачной среде

Простейший случай – теплообмен между двумя параллельными абсолютно черными поверхностями. Расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами.

Все излучение одной поверхности полностью поглощается второй, т.к. а_о=1. Результирующий поток, уходящий через более холодную поверхность, равен:

.

При теплообмене серых поверхностей, произвольно расположенных в пространстве, задача осложняется тем, что:

1) не все излучение одной из поверхностей может попадать на вторую;

2) не все излучение, попавшее на поверхность, ею поглощается.

Определим, какая доля лучистого потока, уходящего с поверхности F₁, попадает на поверхность F₂. Согласно закону Ламберта, лучистый поток

.

Так как пространственный угол

, то

.

Чтобы найти лучистый поток Q_1-2 , последнее выражение проинтегрируем:

Полный полусферический поток с поверхности F₁ на поверхность F₂, в соответствии с формулой

, будет

.

Разделим выражение (3.20) на (3.21), получим

.

Величина j₁₂ показывает, какая часть лучистого полусферического потока, уходящего с поверхности F₁, попадает на поверхность F₂ и называется угловым коэффициентом. Это чисто геометрическая характеристика. Аналогично

.

Вычисление j₁₂ и j₂₁ по этим формулам для многих практических задач представляет большие математические трудности, поэтому во многих случаях j находят методом Г. Л. Поляка, основанном на их некоторых свойствах:

§ свойство взаимности

Сравнивая последние выражения, получим .

§ свойство замыкаемости

Рассмотрим замкнутую систему абсолютно черных тел (рис.).

Рассмотрим замкнутую систему абсолютно черных тел.

С поверхности 1 излучение попадает на окружающие поверхности 2–4 и частично на самое себя (если 1 вогнутое), поэтому

.

Разделим на Q₁, получим

.

Свойство замыкаемости: сумма угловых коэффициентов для замкнутой системы равна единице.

Определим угловые коэффициенты для некоторых случаев, возможных на практике. Системы двух тел изображены на рис.

Как видно, таких систем имеется несколько:

а) две большие плоские поверхности, расположенные на небольшом расстоянии одна от другой, и ;

б) две концентрические сферические поверхности или два круглых коаксиальных бесконечно длинных цилиндра (тело 1 внутри тела 2):

и ;

в) внутренние поверхности двух полых сфер, пересекающихся между собой:

и

,

где F₁ и F₂ – поверхности, находящиеся в состоянии лучистого теплообмена;

F₀₁ и F₀₂ – полные поверхности пересекающихся сфер;

f – площадь круга, краями которого является линия пересечения поверхностей F₀₁ и F₀₂;

г) внутренняя поверхность шарового сегмента и плоская круглая поверхность, являющаяся основанием сегмента (F₁ – плоская поверхность, а F₂ – вогнутая),

и .

Этот случай получается из предыдущего при F₁ = f;

д) две поверхности, составляющие вместе сферическую полость, контуры их могут быть произвольной формы:

и .

Замкнутая система из двух серых тел. Понятие эффективного теплового потока

Рассмотрим теплообмен в замкнутых системах. На тело падает лучистый поток Q_пад, который исходит от другого тела, а если тело имеет вогнутости, то и от него самого

Поверхность тела из падающего на нее лучистого потока поглощает тепло Q_погл = а · Q_пад, а остальной поток тепла отражает обратно Q_отр = Q_пад – Q_погл.

Результирующий тепловой поток окончательно ушедший в тепло равен:

. (3.24)

Для непрозрачной поверхности, а+r =1, поэтому

.

После подстановки в уравнение 3.24 получим или . Сумму отраженного лучистого потока и собственного излучения называют эффективным излучением и обозначают . Учитывая, что для серой поверхности , e = а, получим

.

Если собственное излучение больше поглощенного, то результирующий тепловой поток будет отрицателен.

Рассмотрим теплообмен между двумя произвольными серыми поверхностями 1 и 2, образующими замкнутую систему. Т₁ > Т₂ – температуры равномерные. Найдем Q_рез1-2 .

Поскольку система замкнута, весь эффективный лучистый поток, уходящий с поверхности 1, распределяется между поверхностями 1 и 2. Часть, падающая на поверхность 2, определяется угловым коэффициентом j₁₂, а на поверхность 1 – j₂₁. Следовательно, результирующий поток равен:

,

или

. (3.25)

Из закона сохранения энергии , а вследствие свойства взаимности . Алгебраически преобразовав уравнение (3.25), получим

или

,

где e₁₂ – приведенная степень черноты,

s₁₂ – приведенный коэффициент излучения.

Для схемы, приведенной на рис. 3.19 (а), и ; F₁ = F₂;

.

Для схемы, приведенной на рис. 3.19 (б), и ,

.

Излучение газов и паров

Все газы и пары обладают способностью поглощать и излучать лучистую энергию. Излучательная способность двухатомных газов незначительна – их принимают лучепрозрачными. Трехатомные (и более) газы обладают значительной селективной поглощательной и излучательной способностью (рис.).

Наибольший интерес представляют СО₂ и Н₂О -пар, входящие в состав продуктов сгорания топлива (дым). Энергия излучения СО₂ и Н₂О зависит от парциального давления газа (р, Па), толщины газового слоя (S, м) и температуры:

, Вт/м²;

, Вт/м².

Для технических расчетов эта формула неудобна, поэтому используют формулы, в которых температура в четвертой степени. Необходимая поправка вводится в общую степень черноты газа – e, которая также учитывает зависимость интенсивности излучения от длины волны .

;

.

Излучательная способность газа (Е_Г), содержащего СО₂ и Н₂О, определяется по формуле:

;

,

где ξ – поправочный коэффициент, который находят из графика , р – парциальное давление, s – толщина слоя;

– поправка, учитывающая наложение полос излучения СО₂ и Н₂О при их совместном пребывании в излучающем пространстве, определяется из графика.

При обычных соотношениях компонентов, которые наблюдаются в дымовых газах, ~ 2÷4 %. Ее нужно учитывать при очень точных расчетах и при больших значениях Р_о ·S,

где Р_о – общее давление газа;

S – эффективная длина луча, ;

– коэффициент эффективности газового излучения, характеризующий долю излучения, достигающую стенок;

V – объем, заполненный газом;

F –площадь всех стенок, ограничивающих этот объем.

Теплообмен в системе «серый газ – замкнутая серая оболочка»

Рассмотрим замкнутую серую оболочку с равномерной температурой Т₁ и степенью черноты e₁. Площадь внутренней поверхности оболочки – F₁. Внутри оболочки находится серый газ с равномерной температурой Т_Г и степенью черноты – e_Г. Найдем тепловой поток от газа к оболочке Q_Г-1 .

Все эффективное излучение оболочки попадает в газ, но только часть его, пропорциональная его поглощательной способности а_Г, поглощается. Так как для серого газа а_Г = e_Г, то, в соответствии с формулой , получим

.

Результирующий поток, отдаваемый газом оболочке, равен разности между собственным и поглощенным излучением:

.

Учитывая, что результирующий поток, отдаваемый газом, равен результирующему потоку, проходящему через оболочку (Q_Г-1 = Q_рез1), и, проведя простые преобразования формулы (3.28), получим

.

Это формула Нуссельта. Её применяют для расчета лучистого потока от газа к рекуперативным трубам и регенеративной насадке.

Серый газ в замкнутой системе, состоящей из двух поверхностей

;

.

Q_эфф2 определить нельзя, т. к. неизвестна Т₂.

Воспользуемся тем, что поверхность 2 адиабатная и ее эффективное излучение равно излучению падающего потока, т.е. Q_эфф2 = Q_пад2.

,

,

.

Из уравнения .

Подставляя значения Q_эфф1 и Q_эфф2 в уравнение (3.29), получим:

,

.

где s_Г1=s_пр=s_ГКМ – приведенный коэффициент излучения газа, кладки на металл, 1 – нагреваемый металл, 2 – кладка печи.

Это формула Тимофеева. Её применяют для расчета теплообмена в промышленных печах и топках котлов.

Коэффициент развития кладки w = 1/j₂₁.