Задача 3.13 (17)

Груз В, опускаясь, приводит в движение катушку с помощью нити, переброшенной через блок С. Считая, что катушка катится без скольжения, определить ускорение точки А, если в данный момент V_В = 80 см/с, а _В = 160 см/с². Радиусы катушки r = 30 см; R = 50 см.

Решение

1. Рассматриваемый механизм (рис. 3.35) состоит из груза В, совершающего поступательное движение, и катушки, совершающей плоскопараллельное движение.

1. Решение задачи определения скоростей. Скорость точки К касания нити с катушкой равна скорости груза, т.е. V_К = V_В. Мгновенный центр скоростей катушки находится в точке Р (рис. 3.36).

Рис. 3.35 Рис. 3.36

Угловая скорость катушки

. (д)

В данному случае w = 1 1/с.

Скорость центра О катушки

. (е)

В данном случае V_О = 50 см/с.

3. Ведущим звеном механизма является груз В, ускорение которого задано условием задачи.

Ведущее звено и катушка связаны гибкой нитью. Точка К нити имеет, очевидно, такое же по модулю ускорение, как и груз В.

4. Решение задачи об определении ускорений точек катушки, совершающей плоскопараллельное движение. Выберем в качестве полюса центр катушки. Так как центр катушки движется прямолинейно по оси х (рис. 3.35), его ускорение направлено по этой же оси, а модуль определится дифференцированием уравнения (е)

,

см/с².

Такое дифференцирование возможно, потому что при качении катушки без проскальзывания расстояния ОР и КР остаются неизменными.

Составим векторное уравнение типа (3.10) для точки А

. (ж)

Изобразим все векторы, входящие в уравнение (ж) на рис. 3.37.

Рис. 3.37.

Неизвестное по направлению ускорение точки А представим составляющими` а Aх и` а Aу. Осестремительную составляющую направим от точки А к полюсу О, вращательную составляющую направим перпендикулярно вверх, потому что катушка катится ускоренно (см. задачу 3.10).

Приступим к анализу векторного уравнения (ж). Задача об определении ускорений при качении катушки без проскальзывания относится к типу 2. Неизвестными векторного уравнения (ж) являются составляющие` а <sub>Ах</sub> и` а _Ау. Ускорение полюса О определено выше. После определения угловой скорости (см. с. 53) легко вычисляется величина осестремительной составляющей :

см/с².

Учитывая, что расстояние КР в формуле (д) остается постоянным, угловое ускорение колеса найдем дифференцированием:

.

В данном случае 1/с².

Величина вращательной составляющей равна

см/с².

Проектируя векторное уравнение (ж) на оси координат, получим:

(х) см/с²,

(у) см/с².

Полное ускорение точки А:

см/с².