Задачі на пропорційний поділ

Задачі на пропорційний поділ становлять велику групу складених задач на зв'язки між пропорційними величинами, яка розглядається в третьому та четвертому класах чотирирічної початкової школи. Ознайомлення школярів із способами розв'язування задач цього типу відбувається після засвоєння ними залежностей між пропорційними величинами таких груп: ціна, кількість, вартість; швидкість, час, відстань; продуктивність праці, час, виконана робота; і інших та після розв'язування простих задач на зв'язки між ними. Після цього розглядаються складені задачі на знаходження четвертого пропорційного (див. "Нова педагогічна думка" №4, 1998), які є підготовчими вправами до розв'язування задач на пропорційний поділ. Вперше із цими задачами передбачається ознайомити учнів третього класу чотирирічної початкової школи, але їх кількість в підручнику незначна (наприклад, №1011 і №1020 у підручнику "математика" 3(2) М.В.Богдановича). Пізніше, у четвертому класі, передбачено докладніший розгляд задач на пропорційний поділ. Але, на жаль, і в цьому підручнику задачі цього типу не згруповані в єдину цілісну систему, а зустрічаються протягом більше двадцяти окремих уроків, на яких передбачено розгляд однієї-двох задач, робота над якими має забезпечити засвоєння учнями способів їх розв'язування. Звичайно, було б раціональнішим розглядати ці задачі в системі взаємопов'язаних уроків. Але навіть при такому недосконалому програмному розподілі та при недосконалій структурі діючого підручника з математики при правильному науково-методичному підході до роботи над задачами названого типу можна добитися успішного оволодіння _ учнями способів розв'язування цих задач. Важливо, щоб з перших уроків роботи над задачами на пропорційний поділ вчитель домігся усвідомлення учнями найважливішої ознаки цих задач, а саме: в задачах на пропорційний поділ вимагається значення однієї величини, яка являє собою суму двох шуканих значень цієї величини, поділити (краще розподілити) пропорційно до двох даних значень іншої величини при умові, що значення третьої величини незмінне. Оскільки величини, які характеризують ситуацію в задачі, зв'язані прямо пропорційною чи обернено пропорційною залежністю, то вибір арифметичних дій для знаходження шуканих значень величин обґрунтовується саме виявленою відповідною залежністю.

Розглянемо задачу №1011 з підручника М.В.Богдановича "Математика" 3 (2):

Купили 7 м тканини за 63 грн. Із цієї тканини пошили 2 сукні. На першу сукню витратили 4 м, а на другу 3 м. Скільки коштувала тканина, з якої пошили кожну сукню?

Під час скороченого запису тексту задачі, прочитаного з логічними наголосами, вчитель наголошує, що величини слід розташовувати в таблиці так, щоб добуток значень величин першої та другої колонок дорівнював значенню величини в третій колонці, тобто добуток ціни на кількість дорівнює вартості. В процесі аналізу задачі (розбору змісту) звертає увагу на прямо пропорційну залежність між величинами - ціна, кількість, вартість, - навчає учнів робити прикидку розв'язку: "Очевидно, що вартість кожної сукні залежить від кількості витраченої на неї тканини. Якщо на сукню витрачено більше тканини (4 м), то й коштувала вона більше грошей, а якщо ж витрачено менше тканини (3 м), то й коштувала вона менше грошей". Отже, табличний скорочений запис задачі має вигляд:

Процес міркування над пошуком шляху розв'язування задачі повинен бути алгоритмізований незалежно від того, чи застосовується метод бесід чи метод пояснення. Кожне судження, яке виражає зв'язки між величинами і формулюється на відповідному етапі міркування, повинно бути логічним продовженням судження, сформульованого на попередньому етапі. Наведемо зразок міркування вчителя щодо пошуку шляху розв'язування даної задачі:

- Щоб дізнатися, скільки грошей заплатили за тканину на кожну сукню, треба знати ціну 1 м тканини, бо чим більше тканини витратили на сукню, тим більше грошей заплатили.

- Якщо вартість всієї тканини 63 грн., а її кількість - 7 м, то ціну 1 м можна визначити дією ділення вартості На кількість (63:7=9 грн.)

- Якщо ціна 1 м тканини 9 грн., а на першу сукню витратили 4 м, то вартість цих 4 м тканини дорівнює добутку ціни на кількість (9-4=36 грн.).

- Якщо ціна 1 м тканини 9 грн., а на другу сукню витратили 3 м, то вартість їх дорівнює добутку ціни на кількість (9-3=27 грн.). Вартість 3 м тканини, які витратили на другу сукню, можна знайти як різницю всієї вартості тканини та вартості тканини, витраченої на першу сукню, тобто 63-36=27 грн.

Отже, розв'язання має вигляд:

1.63:7=9 (грн.) - ціна 1 м тканини.

2.9-4=36 (грн.) - коштувала тканина на І сукню.

3.9-3=27 (грн.) - коштувала тканина на II сукню.

3 а) 63-36=27 (грн.)

Повторно обґрунтовуючи хід розв'язування задачі, спираючись на таблицю скороченого запису та розв'язання, вчитель словом і жестом переконує учнів, що в даній задачі необхідно було значення (63 грн.) вартості всієї тканини розподілити пропорційно до кількості тканини, витраченої на кожну сукню, так, щоб більшій кількості (4 м) тканини відповідала більша вартість, а меншій кількості

(3 м) - менша вартість. Розв'язання задачі ще раз підтверджує, що значена загальної вартості розподілено пропорційно до двох значень кількості тканин при сталій ціні 1 м тканини.

Аналогічними міркуваннями ведеться робота над задачею №1020 у третьому класі. Наведемо, запис та характеристику задачі.

Задача: Купили 10 однакових ящиків фруктів, всього 150 кг. У 4 ящиках були яблука, а в 6 - груші. Скільки кілограмів яблук і скільки кілограмів груш купили.

За скороченим табличним записом тексту задачі навчаємо дітей спостерігати що загальна маса (150 кг) являє собою суму шуканих двох значень – маси яблук та маси груш, а тому співставляється із загальною кількістю ящиків фруктів. На основі цього співставлення можна легко знайти значення третьої величини яка в даній задачі є сталою, тобто масу одного ящика. Далі, спираючись на структуру таблиці, порядок розташування величин, їх значення, вчителі роз'яснює учням і домагається розуміння ними того факту, що в даній задач шукана маса яблук та груш залежить від кількості ящиків, а отже, необхідно загальну масу фруктів (150 кг) розподілити пропорційно до двох значень кількості ящиків (4 і 6) так, щоб меншій кількості ящиків (4) з яблуками відповідала менша маса, а більшій кількості ящиків (6) з грушами відповідала більша маса при умові, що маса усіх ящиків однакова (маса одного ящика стала).

Наведемо зразок бесіди, в якій відображається шлях міркування, на який скеровує вчитель учнів постановкою системи запитань.

- Яка загальна маса фруктів? (150 кг).

- У скількох ящиках міститься 150 кг фруктів? (у 10).

- Що відомо в задачі про ящики з фруктами? (їх маса однакова).

- Якщо маса 10 однакових ящиків дорівнює 150 кг, то як можна дізнатися масу одного такого ящика? (Маса одного ящика в 10 разів менша від маси 10 ящиків, тому її можна знайти дією ділення: 150:10=15 кг.)

- Скільки ящиків було з яблуками? (4) -

- Якщо маса одного ящика 15 кг, а яблука були в 4-х таких ящиках, то як дізнатися масу яблук? (Дією множення: масу одного ящика помножити на кількість ящиків. 15-4=60 кг.)

- Скільки ящиків було з грушами? (6)

- Яка маса одного ящика з грушами? (Така сама як і ящика з яблуками, тобто 15 кг.) '

- То як дізнатися масу груш? (Треба масу одного ящика - 15 кг помножити на кількість ящиків - 6, тобто 15-6=90 кг.)

- Чи можна масу груш визначити іншим способом (Можна, якщо від загальної маси фруктів - 150 кг відняти масу яблук - 60 кг, то дістанемо масу груш: 150-60=90 кг.)

Отже, розв'язання має вигляд:

1. 150:10= 15 (кг) - маса одного ящика з фруктами.

2.15-4=60 (кг) - маса яблук.

3.15-6=90 (кг) - маса груш.

3⁰. 50-60=90 (кг).

Вивчаючи текст кожної задачі, легко помітити, що в них є "зайві", з першого погляду, дані, які є сумами даних значень однієї величини: у першій задачі 7 м, тобто сума кількостей метрів тканини, витраченої, на кожну З двох суконь, а у другій - 10 ящиків, тобто сума кількостей ящиків з яблуками та грушами. Але тут наявність "зайвих" даних в тексті задачі слід вважати спеціальним методичним прийомом, який орієнтує вчителя та учнів на необхідність співставлення двох сум, перша з яких - це сума двох шуканих значень величини, яка дана в тексті задачі, а друга - сума двох даних значень іншої величини, пропорційно до яких розподіляється значення першої величини. Так в задачі №1011 співставляється загальна вартість тканини (63 грн.), яка є сумою шуканих значень вартості тканини, витраченої на кожну сукню, із загальною кількістю тканини (7 м), яка є сумою даних значень кількостей тканини, витраченої на кожну сукню, тобто сумою чисел 4 м і 3 м, пропорційно до яких розподіляється значення загальної вартості тканини (63 грн).

У другій задачі (№1020) загальна маса фруктів (150 кг), яка є сумою шуканих значень маси яблук і маси груш, співставляється із загальною кількістю ящиків (10), яка є сумою даних значень кількостей ящиків з яблуками і грушами (4 і 6), пропорційно до яких розподіляється загальна маса (150 кг). Внаслідок співставлення кожних двох сум дією ділення однієї суми на другу знаходять значення сталої величини (у першій задачі - ціну 1 м тканини, у другій - масу одного ящика фруктів). Легко впевнитись, що при цьому застосовувався спосіб прямого зведення до одиниці, тобто до 1 зводили ту величину, для якої в умові дано два значення (кількість метрів тканини - в першій задачі, а в другій - кількість ящиків).

Отже, першою дією при розв'язанні задач цього типу є дія ділення на рівні частини, яка виражає спосіб прямого зведення до одиниці, а отримана частка є значенням сталої величини. Друга і третя дії у розв'язанні є Діями множення, в яких отримане значення сталої величини множать на кожне з двох Даних значень іншої величини. Але третю дію можна виконати відніманням: від значення величини, яку розподіляють пропорційно до двох даних значень іншої величини, відняти отримане в другій дії одне значення величини.

У четвертому класі задачі на пропорційний поділ дещо ускладнені, і їх розв'язання складається з чотирьох арифметичних дій. У підручнику подано понад 20 задач цього типу, наприклад №995,1029, 1328, 1329 і ін. Розглянемо одну з цих задач і узагальнимо способи їх розв'язування.

Задача №1328. Два загони хлопчиків поділили між собою для догляду 160 дерев. В одному загоні 18 хлопчиків, а в другому 14. Скільки дерев треба закріпити за кожним загоном, щоб кожний хлопчик доглядав однакову кількість дерев?

З самого початку роботи над задачею (будь-якого типу) слід навчити учнів виконати скорочений запис тексту і за ним визначити тип задачі. Для цього треба назвати всі величини, які характеризують ситуацію, описану в задачі, встановити, що вони зв'язані між собою прямо пропорційною залежністю і розташувати їх в таблиці в такій послідовності, що значення величини в третій колонці таблиці знаходять дією множення відповідних значень величин, розташованих у першій та другій колонках.

Отже, ситуацію в даній задачі характеризують такі величини: кількість дерев, закріплена за одним хлопчиком для догляду; кількість хлопчиків у загонах; загальна кількість дерев, які розподілені для догляду між загонами. Після запису в таблиці значень величин, даних в тексті задачі, таблиця набуває вигляду.

Із табличного скороченого запису задачі легко бачити, що в ній вимагається загальну кількість дерев (160) розподілити між двома загонами хлопчиків так, щоб за тим загоном, в якому більша кількість хлопчиків, була закріплена більша кількість дерев для догляду, аза тим за гоном, в якому менша кількість хлопчиків, була закріплена менша кількість дерев. Отже, дана задача на пропорційний поділ загальної кількості дерев між двома загонами залежна від кількості хлопчиків у загоні.

Вчитель, розмірковуючи вголос, навчає учнів виявити зв'язки шуканих значень величини із даними значеннями і правильно вибрати та обґрунтувати арифметичні дії для знаходження проміжних та шуканих значень величин. Міркування. "Кількість дерев, які треба закріпити для догляду за кожним загоном хлопчиків, залежить від кількості дерев, які повинен доглядати один хлопчик, і від кількості хлопчиків. Якщо б помножити кількість дерев, закріплених за одним хлопчиком, на відповідну кіль кість хлопчиків у кожному загоні, то можна б отримати кількість дерев, закріплених за кожним загоном окремо. В умові задачі дано кількість хлопчиків у кожному за гоні, але невідомо скільки дерев закріплено за одним хлопчиком. Отже, спочатку треба знайти і кількість дерев, закріплених за одним хлопчиком, спираючись на те, що "кожний хлопчик доглядав однакову кількість дерев", як сказано в умові. Цю кількість можна знайти, якщо співставити загальну кількість дерев і загальну кількість хлопчиків, які їх доглядають. В цій задачі, на відміну від задач, що розглядались у третьому класі, відсутня сума двох даних значень однієї величини, тобто загальна кількість хлопчиків в обох загонах, але її легко знайти дією додавання чисел 18 і 14. (18+14=32 хлопчики) Продовжуємо розмірковувати: Якщо 32 хлопчики повинні доглядати 160 дерев, то 1 хлопчик доглядатиме в 32 рази менше, тобто кількість дерев, закріплених для догляду за одним хлопчиком, знаходимо дією ділення 160:32=5 дерев. Якщо кожен хлопчик повинен доглядати 5 дерев, а у першому загоні є 18 хлопчиків, то за цим загоном буде закріплено 5-18=90 дерев. Якщо кожен хлопчик повинен доглядати 5 дерев, а у другому загоні є 14 хлопчиків, то за другим загоном буде закріплено 5-14=70 дерев.

Кількість дерев, які треба закріпити за другим загоном, можна визначити, міркуючи так: якщо обидва загони повинні доглядати 160 дерев, а за першим загоном закріплено 90 дерев, то за другим загоном треба закріпити 160-90=70 дерев. Розв'язання має вигляд:

1.18+14=32 (х.) - повинні доглядати всі дерева.

2.160:32=5 (д.) - повинен доглядати 1 хлопчик.

3. 5-18=90 (д.) - треба закріпити за першим загоном.

4.5-14=70 (д.) - треба закріпити за другим загоном.

4^а. 160-90 = 70 (д.)

Після повторного обґрунтування розв'язання даної задачі вчитель детально характеризує спосіб розв'язування і зміст кожної дії у розв'язанні; тим самим узагальнює спосіб розв'язування задач на пропорційний поділ, а саме:

"Задачі на пропорційний поділ розв'язуються чотирма діями. Першою дією знаходять суму двох даних значень однієї величини (в даній задачі - суму кількостей хлопчиків обох загонів).

Цю суму співставляють із даною сумою шуканих значень іншої величини (в даній задачі співставляли загальну кількість хлопчиків із загальною кількістю дерев, які треба розподілити між загонами). На основі цього співставлення виконують другу дію - ділення, якою знаходять значення сталої величини (в даній задачі сталою є кількість дерев, закріплених за одним хлопчиком).

Третяй четверта дії однакові. В даній задачі - це дії множення, бо шукаємо два значення величини, розташованої в третій колонці. Ці значення дорівнюють добутку значення сталої величини(кількості дерев, закріплених за одним хлопчиком) на відповідні дані значення другої величини(кількості хлопчиків у загонах). Оскільки друга дія виражає спосіб прямого зведення до одиниці(до 1 зводили в даній задачі кількість хлопчиків, для якої в умові дано 2 значення 18 і 14), тому третя і четверта дії є множенням.