РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА СКЛАДНЕ ПРАВИЛО ТРЬОХ

У попередніх номерах журналу "Нова педагогічна думка" (№4,1998 р. і №2,1999 р.) нами було розкрито науково-методичні основи розвитку математичного мислення і мовлення молодших школярів у процесі розв'язування деяких типів складених задач, зокрема задач на знаходження четвертого пропорційного способами прямого і оберненого (непрямого) зведення до одиниці та способом відношень, задач на пропорційний поділ і задач на знаходження значень величини за двома різницями. Розглянемо цю проблему стосовно розв'язування задач на складне правило трьох. Задачі цього типу називають ще задачами, які розв'язуються способом подвійного зведення до одиниці, і розглядаються в четвертому класі 4-річної початкової школи і в третьому класі 3-річної початкової школи. На жаль, ні в методичних посібниках для вчителя [2], [6], ні в навчальному посібнику з методики математики [3], ні в навчальному посібнику М.В.Богдановича, що стосується методики розв'язування задач у початковій школі [4], ні в посібнику А.А.Свєчнікова з розв'язування задач [5], ні в інших посібниках навіть не згадується про задачі цього типу і методику їх розв'язування. Це свідчить про те, що питанню методики розв'язування задач на складне правило трьох ні автор шкільного підручника з математики для 4 (3) класу М.В.Богданович, ні інші методисти не приділяли взагалі жодної уваги. Хоч у шкільному підручнику з математики [1] є багато задач цього типу. Але, як показують спостереження, вчителі майже не володіють методикою роботи над ними, а тому процес навчання учнів розв'язувати ці задачі здебільшого відсутній.

Навіть якщо й пропонується в класі задача на складне правило трьох для розв'язування учнями, то вчитель задовольняється тим, що в класі знайдеться один-два здібні учні, які інтуїтивно, а може й шляхом логічних міркувань вкажуть дії, якими розв'язується задача, а всі інші учні переписують розв'язання, не заглиблюючись в зміст дій та зміст величин і залежностей між ними. Коротше, на практиці робота по научуванню дітей розв'язувати задачі на складне правило трьох недосконала, щоб не сказати примітивна або й зовсім відсутня. Часто вчителі навіть опускають задачі цього типу, а тому, коли учням запропонувати таку задачу, то вони не можуть зробити спроб для їх розв'язування, провести вголос розмірковування над пошуком шляху розв'язування, над встановленням зв'язку між шуканою і даними величинами.

Перелічимо деякі номери задач на складне правило трьох з різних розділів шкільного підручника з математики [1], а саме:

№№728,730,737,747,750,756,760,765,775,785,797,806, 1162,1243,1280,1282,1293,1300,1304 і ін.

Фабула цих задач описує ситуацію, яка характеризується величинами, що зв'язані пропорційною залежністю. Розглянемо першу з названих задач (№728), яка є підготовчою вправою до сприймання і розуміння способу розв'язування задач на складне правило трьох. На цій задачі слід учням детально розкрити спосіб скороченого запису тексту задачі в таблиці та спосіб міркувань при встановленні зв'язку шуканої величини з даними і при виборі арифметичних дій для знаходження значень проміжних і шуканої величин та їх обґрунтування.

Задача №728. Два трактори за 4 год. роботи витратили 200 л бензину. Скільки палива витратить один трактор за одну годину?

Скорочений запис тексту задачі має вигляд:

Таблиця 1

Після розбору тексту задачі методом бесіди з учнями вчитель добивається розуміння ними її змісту та величин, що характеризують ситуацію, описану в задачі. Наведемо зразок бесіди з розбору змісту задачі:

- Скільки тракторів працювало? (Два).

- Скільки часу працювали трактори? (4 години).

- Скільки літрів палива витратили два трактори за 4 години? (200 літрів).

- Що необхідно знайти? (Скільки літрів палива витратить один трактор за одну годину?).

Щоб намітити шлях розв'язування задачі, вчитель повинен навчати учнів розмірковувати, проговорюючи вголос з логічними наголосами судження, що відображають зв'язки і залежності між величинами, демонструючи зразок міркування.

"Якщо за 4 години 2 трактори витратили 200 л бензину, то 1 трактор за той же час (4 год) витратить у 2 рази менше, тобто 200: 2 = □ літрів бензину. Якщо 1 трактор за 4 години витрачає □ літрів бензину, то за 1 годину цей трактор витратить у 4 рази менше літрів бензину, тобто □: 4 = * ". (У тексті міркування тут і надалі підкреслені слова, на яких слід робити логічний наголос).

На основі наведеного міркування слід записати розв'язання задачі із стислим поясненням дій:

1)200: 2 = 100 (л) - бензину витратить 1 трактор за 4 години;

2)100: 4 = 25 (л) - бензину витратить 1 трактор за 1 годину.

Вчитель повинен звернути увагу учнів на те, що, починаючи розмірковувати, значення однієї величини залишається незмінним (в нашому випадку - час 4 години), а до одиниці зводимо другу величину (кількість тракторів). Пізніше, на другому етапі міркування, до одиниці зводимо ту величину, яка спочатку була незмінною, тобто час. Шлях міркування зручно записати символічно в таблиці під скороченим записом тексту задачі, відокремивши записи горизонтальною рискою. У тій же таблиці доцільно записати і другий шлях міркування, при якому спочатку залишилась незмінною величина - кількість тракторів, а до одиниці зводилась величина - час, а потім до одиниці зводиться величина - кількість тракторів. Наведемо зразок другого шляху міркування: "Якщо 2 трактори за 4 години витратили 200 л бензину, то ці ж 2 трактори за 1 годину витратять у 4 рази менше, тобто 200:4 =□ літрів бензину. Якщо 2 трактори за 1 годину витрачають □ літрів бензину, то 1 трактор за той же час (1 год) витратить у 2 рази менше, тобто □: 2 = * ".

Отже, доповнивши таблицю 1 записами, які відображають шляхи міркувань, дістаємо таблицю 2.

Таблиця 2

Доцільно при проговорюванні суджень під час міркування оперувати не числовими значеннями величин, а їх змістом, а в запису в таблиці позначати проміжні величини символами, наприклад □, О, Д, * і ін., де стосовно даної задачі символ □ означає кількість бензину, яку витрачає один трактор за 4 години роботи; символ Д - кількість бензину, яку витрачають 2 трактори за 1 годину роботи; * - кількість бензину, яку витрачає 1 трактор за 1 годину роботи.

За таблицею легко провести аналіз процесу міркування при розв'язуванні даної задачі. Очевидно, що наявність числа 1 в першому рядку кожного з шляхів міркування свідчить про зведення до одиниці однієї з величин: кількості тракторів у першому шляху міркування та часу роботи у другому шляху міркування. Наявність числа 1 у другому рядку кожного з міркувань свідчить про зведення до одиниці другої величини - часу роботи в першому міркуванні і кількості тракторів у другому. Отже, в кожному випадку значення шуканої величини знаходять способом подвійного зведення до одиниці.

Саме за допомогою таблиці можна добитись від учнів усвідомлення ними суті цього способу розв'язування задач. Рівень сприймання і розуміння дітьми цього способу слід перевірити, запропонувавши їм самостійно відтворити шляхи міркувань, обґрунтувати зв'язки між величинами, вибір арифметичних дій, зміст отриманих результатів виконання їх.

Вчитель повинен показати обидва шляхи міркувань з тим, щоб учні впевнились, що задачу можна розв'язати двома способами, і при знаходженні значень проміжних та шуканої величин слід спиратись на прямо пропорційну залежність між величинами, які характеризують ситуацію, описану в тексті задачі. Діти повинні свідомо формулювати судження типу: "Якщо кількість тракторів збільшилась (зменшилась) у кілька разів, то й кількість літрів бензину збільшилась (зменшилась) у стільки ж разів при однаковому часі роботи; якщо кількість тракторів незмінна, то чим більше (менше) часу вони працюватимуть, тим більше (менше) літрів бензину витратять.

Отже, якщо одна величина незмінна, то із збільшенням (зменшенням) значення другої величини в кілька разів значення третьої величини збільшується (зменшується) в стільки ж разів".

Наведена задача є підготовчим етапом до розв'язування задач на складне правило трьох, оскільки за допомогою цієї задачі існує можливість розкрити учням першу важливу суттєву ознаку задач цього типу, яка характеризує спосіб їх розв'язування, а саме подвійне зведення до одиниці.

В підготовчих задачах дано в умові по одному значенню кожної з трьох величин і вимагається знайти значення четвертої величини, яка, як легко встановити із змісту задачі, є сталою, тобто відіграє роль коефіцієнта пропорційності. Задачі на складне правило трьох мають значно складнішу структуру, а отже, і складніший процес їх розв'язування. В задачах на складне правило трьох дано по 2 значення кожної з двох величин і одне значення третьої величини, а вимагається знайти друге відповідне значення третьої величини за умови, що четверта величина є сталою. Слід зауважити, що про четверту величину в тексті задачі часто нічого не говориться, тобто вона задана в неявній формі. Тому вчитель повинен пояснити учням, що четверту величину завжди слід мати на увазі, бо вона існує і виступає в ролі коефіцієнта пропорційності між величинами. Факт її існування і зв'язок з даними величинами випливає з контексту задачі і найперше з обґрунтування наявного в тексті задачі терміну "таких" чи "однакових".

Розглянемо задачу №730 підручника (1). Хоч ця задача в підручнику відмічена зірочкою (*), тобто належить до задач з логічним навантаженням, але цілком аналогічна за фабулою, сюжетом та величинами задача №1243, яка пропонується для розв'язування дітям вдома. Відрізняються задачі лише числовими значеннями величин. А тому вчитель повинен перш ніж задавати дітям задачу додому, навчити їх в класі розв'язувати такого типу задачі. Отже, задача №730. За 5 днів б машин витягнули 24000 м дроту. Скільки метрів дроту витягнуть 16 таких машин за 20 днів?

Для виконання скороченого запису тексту задачі вчитель встановлює, що в ній наявні такі величини: кількість машин, час, виражений у днях, кількість метрів витягнутого дроту. Крім цього, тут слід мати на увазі ще одну, четверту, величину. Яку? Необхідно виявити в ході міркування. Пояснення, яке супроводжує скорочений запис, може бути таким: "Якщо машини витягували дріт, то це означає, що вони виконували роботу по витягуванню дроту. Кількість витягнутого дроту будемо називати виконаною роботою і позначимо r. Час роботи позначимо в таблиці t, а кількість машин - к. Словосполучення "таких машин" означає, що всі машини однакові, тобто за однаковий час кожна з машин витягує однакову кількість дроту - виконує однакову роботу. А це означає, що й за 1 день кожна з машин виконує однакову роботу. Кількість дроту, яку витягує 1 машина за 1 день, називаємо продуктивністю праці і будемо позначати буквою р. Отже, крім названих трьох величин, в даній задачі в неявній формі задана четверта величина - продуктивність праці (р), яка виступає коефіцієнтом пропорційності". Таблиця скороченого запису тексту задачі має вигляд:

Таблиця 3

Для розв'язування задачі слід навчити учнів міркувати вголос, починаючи міркування від запитання до умови, або від умови до запитання, спираючись на прямо пропорційну залежність між величинами. Вчитель сам повинен бачити тут чотири шляхи міркувань, які приводять до знаходження значення шуканої величини, і кожного разу скеровувати мислення учнів в те русло, яке приводить до нового способу розв'язування задачі. Наведемо зразок пояснення, яке демонструє вчитель, для знаходження значення шуканої величини шляхом міркування від запитання до умови:

"Щоб знайти скільки метрів дроту витягнуть 16 машин за 20 днів, досить знати скільки метрів дроту витягнуть 16 машин за 1 день. Коли б ми знали, яку роботу виконають 16 машин за 1 день, то за 20 днів вони виконають роботу у 20 разів більшу, і її можна знайти дією множення. Але невідомо, яку роботу виконують 16 машин за 1 день. Якби було відомо, яку роботу виконує 1 машина за 1 день, то 16 машин за 1 день виконають роботу у 16 разів більшу, і це можна знайти дією множення. Але невідомо, яку роботу виконує 1 машина за 1 день. Про це можна дізнатися з умови задачі. Якщо 6 машин за 5 днів витягнули 24000 м дроту, то 1 машина за той же час (5 днів) виконає роботу у 6 разів меншу, і її можна знайти дією ділення 24000:6=□, де □ - кількість метрів дроту, яку витягне 1 машина за 5 днів. Якщо 1 машина за 5 днів витягує знайдену кількість дроту □, то за 1 день вона витягне у 5 разів менше, тобто □: 5=0. Отже, тепер можна намітити план розв'язування:

1)Скільки метрів дроту витягує одна машина за 5 днів?

2)Скільки метрів дроту витягує одна машина за 1 день?

3)Скільки метрів дроту витягнуть 16 машин за 1 день?

4)Скільки метрів дроту витягнуть 16 машин за 20 днів?

Вважаємо доцільним план розв'язування записувати символічно в таблиці, доповнюючи тим самим таблицю скороченого запису тексту задачі, що дозволить учням краще побачити прямо пропорційний характер зв'язків між величинами, послідовне зведення величин до одиниці і спосіб вибору арифметичних дій.

Таблиця 4

Відповідно до цього шляху міркування розв'язання має вигляд:

1)24000:6=4000 (м) дроту витягує 1 машина за 5 днів;

2)4000:5=800 (м) дроту витягує 1 машина за 1 день;

3)80016=12800 (м) дроту витягують 16 машин за 1 день;

4)12800-20=256000 (м) дроту витягують 16 машин за 20 днів.

Аналізуючи таблицю скороченого запису і розв'язування задачі, слід встановити, що для знаходження шуканого значення величини - виконаної роботи відбулось подвійне пряме зведення до одиниці, тобто до одиниці зведено кожну з двох величин, для яких в умові дано 2 значення.

Нагадаємо, що коли до одиниці зводять ту величину, для якої в умові дано 2 значення, то цей спосіб називається способом прямого зведення до одиниці; коли ж до одиниці ту величину, для якої в умові дано одне значення, то цей спосіб називають способом оберненого зведення до одиниці. (Див. "Нова педагогічна думка", №4,1998, стаття Я.Пасічник). При розв'язуванні даної задачі до одиниці спочатку зводили кількість машин, що видно з першого рядка таблиці, яка ілюструє шлях міркування, а потім зводили час (кількість днів), про що свідчить другий рядок. В результаті другого зведення до одиниці дістали значення сталої величини - продуктивності праці (кількість метрів дроту, що витягує одна машина за один день), яка виступає коефіцієнтом пропорційності. В цьому повинні впевнитись школярі, формулюючи такі судження:

"Якщо кількість машин збільшилась у 16 разів, а час залишився незмінним (1 день), то виконана робота 16-ма машинами збільшиться також у 16 разів. Якщо кількість машин незмінна (16 машин), а час (кількість днів) збільшився у 20 разів, то й виконана робота цими машинами збільшиться у 20 разів".

За таблицею слід провести також навчальну роботу з вибору арифметичних дій для розв'язання задачі і обґрунтувати їх зміст. Так в даному випадку вчитель повинен наголосити, що при подвійному прямому зведенні до одиниці розв'язання задач на складне правило трьох складається з чотирьох дій, де перша і друга дії - ділення на рівні частини, а третя й четверта дії - однакові, це дії множення.

Після детального обґрунтування розв'язання задачі першим способом доцільно поставити проблемне завдання: "Чи можна іншим способом знайти шукане значення величини? Як при цьому слід міркувати?" Якщо серед учнів не знайдеться такого учня, який міг би самостійно намітити інший шлях міркування, то вчитель повинен або методом пояснення, або методом бесіди з учнями показати, як можна другим способом здійснити розв'язання задачі. Наведемо зразок пояснення, що ґрунтується на міркуванні від умови до запитання. (Під час пояснення слід, як і раніше, зробити логічні наголоси на тих даних, які визначають вибір арифметичної дії, зміну значень величин, відношення між ними). Пояснення: "Якщо 6 машин за 5 днів витягнули 24000 м дроту, то, коли працюватиме тільки одна машина протягом 5 днів, вона витягне у 6 разів меншу кількість дроту. (24000:6=□). Знаючи, яку кількість дроту витягує одна машина за 5 днів, можна дізнатися скільки метрів дроту витягне одна машина за 1 день. Ця кількість буде у 5 разів менша (□:5=0). Якщо відома продуктивність праці (кількість дроту, що витягує одна машина за 1 день), то за 20 днів одна машина виконає роботу в 20 разів більшу (О-20= А). Якщо буде відомо, яку кількість дроту витягує одна машина за 20 днів, то 16 машин витягнуть у 16 разів більше дроту за 20 днів (Д16= *). Відповідно до цього міркування, яке по суті є планом розв'язування, можна записати розв'язання задачі:

1)24000:6=4000 (м) дроту витягує 1 машина за 5 днів;

2)4000:5=800 (м) дроту витягує 1 машина за 1 день;

3)800-20=16000 (м) дроту витягує 1 машина за 20 днів;

4)16000-16=256000 (м) дроту витягують 16 машин за 20 днів.

Запишемо в таблиці другий шлях міркування, а також і інші ще 2 шляхи
міркування. Використання табличної форми запису міркувань дозволить вчителю разом з учнями виконати співставлення способів розв'язування, їх порівняльний аналіз, виявити особливості розв'язання, побачити послідовне зведення різних величин до одиниці.

Розв'язання при третьому шляху міркування має вигляд:

1)24000:5=4800 (м) дроту витягують 6 машин за 1 день;

2)4800:6=800 (м) дроту витягує 1 машина за 1 день;

3)80016=12800 (м) дроту витягують 16 машин за 1 день;

4)12800-20=256000 (м) дроту витягують 16 машин за 20 днів.

При четвертому шляху міркування розв'язання має вигляд:

1)24000:5=4800 (м) дроту витягують 6 машин за 1 день;

2)4800:6=800 (м) дроту витягує 1 машина за 1 день;

3)800-20=16000 (м) дроту витягує 1 машина за 20 днів;

4)1600016=256000 (м) дроту витягують 16 машин за 20 днів.

Аналізуючи всі шляхи міркувань за таблицею, учні під керівництвом вчителя впевнюються, що в кожному випадку спочатку зводять до одиниці одну величину, а потім - другу. Для кожної з величин, які зводять до одиниці, в умові задачі дано по 2 значення, а це означає, що виконано двічі пряме зведення до одиниці. Звертаємо увагу учнів, що незалежно від шляху міркувань розв'язання складається з чотирьох дні, де перша і друга дії - ділення на рівні частини, і кожна з них виражає пряме зведення однієї з величин до одиниці. Далі слід наголосити, що оскільки перші дві дії виражають пряме зведення до одиниці, то третя і четверта дії в розв'язанні однакові - це дії множення. До них приводить прямо пропорційна залежність величин. Якщо б одна з перших двох дій виражала спосіб прямого зведення до одиниці, а друга - спосіб оберненого зведення до одиниці, то відповідно третя й четверта дії були б множення та ділення. Четверта дія - ділення - при цьому має характер ділення на вміщення. Це можна показати, склавши обернену задачу до даної: за 5 днів 6 машин витягнули 24000 м дроту. За скільки днів 16 машин витягнуть 256000 м дроту?

Запишемо скорочено текст задачі і шляхи міркування, що приводять до різних способів розв'язування, в таблиці.

Таблиця 6

З таблиці видно, що при першому шляху міркування перша дія виражає обернене зведення до одиниці, а друга - пряме зведення до одиниці. В зв'язку з цим одна з наступних дій (четверта) є діленням на вміщення, а одна - третя - є дією множення, яка виникає як результат прямо пропорційної зміни величини. Так само при другому шляху міркування перша дія виражає пряме, а друга - обернене зведення до одиниці, а тому одна з наступних дій (третя) - множення, а одна (четверта) - ділення. Під час аналізу таблиць, шляхів міркування, способів розв'язування задач, обґрунтування зв'язків між величинами за зразками пояснень, які демонструє вчитель, в учнів розвивається математичне мислення і мовлення і разом з тим свідомо засвоюються способи розв'язування задач певного типу.

Література

1. Богданович М.В. Математика: Підруч. для 4 кл. чотириріч, і 3 кл. триріч, поч. шк. -К. Освіта, 1993,240 с.

2. Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Посібник для вихователя. -К: Рад. шк., 1990. -192 с

3. Богданович М.В. та ін. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. посібник (М.В.Богданович, М.В.Козак, Я.А.Король. - К.: АСК, 1998. - 352 с іл.

4. Богданович М.В. Методика розв'язування задач у початковій школі. Навч. посібник,- 3-тє вид., перероб. і допов. - К: Вища шк. 1990. - 183с. іл.

5. Свечников А. А. Решение математических задач в 1 -3 классах. Пособие для учителя. М., "Просвещение", 1976,160 с.

6. Скаткин Л.Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач: Пособие для учителей начальных классов. М., Госучпедиз МПРСФСР, 1963.