Построение желаемой ЛАХ

Определим коэффициент усиления желаемой ЛАХ из условия обеспечения допустимой погрешности в два процента от номинального уровня в установившемся режиме при отклонении задания Δy и возмущения ∆z на 20% от номинальных значений.

,

,

,

.

Округлим его до ближайшего большего целого

, Kk=178.

Коэффициент усиления желаемой системы

, Kg=195.68.

Построение желаемой ЛАХ начинаем горизонтальным участком на высоте .

Определяем частоту среза желаемой ЛАХ из условия обеспечения требуемого запаса устойчивости : градусов.

Из условия и учитывая, что на частоте среза угол наклона ЛАХ равен -20 дб/дек, а следовательно, фазовая характеристика без учета звена запаздывания примерно равна –π/2, уравнение для расчета частоты среза можно записать как

. И .

.

Уменьшим частоту среза для обеспечения устойчивости (смотри дальше) до 0.04 рад/с.

Для обеспечения устойчивости ЛАХ желаемой системы на частоте среза должна иметь наклон -20дб/дек и длина этого участка, называемого среднечастотным, должна быть не менее декады.

Сопряжение горизонтального низкочастотного участка со среднечастотным для обеспечения необходимого быстродействия производят прямой под наклоном -B= -40дб/дек или -B= -60дб/дек. Переход с линии сопряжения на линию -20 дб/дек задаём в точке ωg1=0.01, наклон линии сопряжения выбираем -40 дб/дек, В:=40.

Строим вспомогательные линии для желаемой ЛАХ:

, ,

.

.

Определяем точку перехода с горизонтальной линии на линию сопряжения (точку первого перегиба желаемой ЛАХ):

,

,

,

.

По частотам перегибов находим постоянные времени желаемой ЛАХ

, .

, .

Строим желаемую асимптотическую ЛАХ для низкочастотного и среднечастотного участков:

Для изломы желаемой асимптотической ЛАХ повторяют изломы располагаемой ЛАХ.

.

Частотная характеристика разомкнутой системы, восстановленная по виду желаемой ЛАХ

.

Амплитудно-частотная характеристика АЧХ желаемой системы имеет вид:

.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика желаемой системы части системы определяется так:

ЛАХ и асимптотическая ЛАХ корректирующего звена определяются как разность ЛАХ желаемой и располагаемой системы

, .

Логарифмические характеристики показаны на рисунке.

Проверяем запас устойчивости желаемой системы, определяя угол запаса по фазе: ,

,

.

Как видно, даже с предварительно уменьшенной частотой среза полученный запас устойчивости по фазе меньше планировавшегося первоначально:

.

Если запас устойчивости окажется слишком маленьким, следует либо увеличить длину среднечастотного участка ЛАХ, либо уменьшить частоту среза, либо уменьшить наклон участка сопряжения горизонтальной и среднечастотной частей ЛАХ, если он был больше 40 дб/дек по модулю.

Проверяем устойчивость полученной системы по критерию Найквиста. Для этого строим АФЧХ замкнутой системы:

Как видно, АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,j0), а характеристическое уравнение разомкнутой системы имело все действительные отрицательные корни.