Получение передаточных функций по переходным процессам (кривым разгона)

Кривые разгона могут быть сняты самостоятельно в период производственной практики, получены у преподавателя или взяты с отчетов по научно-исследовательским (НИР) или опытно-конструкторским (ОКР) работам, проводимым НИИ или ОКБ на данном предприятии. При снятии кривых разгона по каналу "управление-выход" или обработке уже имеющихся необходимо следить, чтобы величины управления и выхода объекта находились в пределах, оговоренных заданием, возмущения были постоянными и их величины соответствовали срединам интервалов, оговоренных заданием. Соответственно, кривые разгона по каждому возмущению по каналам "возмущение - выход" должны сниматься при фиксированном управляющем воздействии и постоянных остальных возмущениях.

Порядок получения передаточной функции

1. Кривая разгона объекта приводится к началу координат (см. рис. 1). По кривой разгона составляются таблицы значений выхода объекта и времени.

Рис.1. Изменение входного воздействия и реакция на него объекта (кривая разгона объекта)

2.По виду кривой, а также по физической природе объекта подбираются возможные порядки левой и правой частей дифференциального уравнения, описывающего объект.

3.Записывается дифференциальное уравнение объекта в общем виде и решение уравнения при заданном входном воздействии.

4.Методом наименьших квадратов по приведенной кривой разгона и решению дифференциального уравнения определяются коэффициенты дифференциального уравнения. Строятся графики исходной кривой и расчетной.

5. По дифференциальному уравнению записывается передаточная функция.

Пример.

Управление, величина воздействия 4.00

t: 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 55.0 60.0 65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0 95.0

y: 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.16 90.41 90.64 90.87 91.09 91.29 91.48 91.67 91.84 92.01 92.1

t: 100.0 105.0 110.0 115.0 120.0 125.0 130.0 135.0 140.0 145.0 150.0 155.0 160.0 165.0 170.0 175.0 180.0 185.0 190.0 195.

y: 92.32 92.46 92.60 92.73 92.85 92.97 93.08 93.19 93.29 93.38 93.47 93.56 93.64 93.72 93.79 93.86 93.93 93.99 94.05 94.1

Отсекая первые восемь постоянных значений, соответствующих чистому запаздыванию с , вводим последующие значения, начиная отсчет времени и выходной величины с нуля. Строим график кривой разгона в приращениях (приведенной к началу координат).

Предполагая, что кривая соответствует переходному процессу апериодического звена второго порядка с передаточной функцией

, (1)

переходный процесс можно описать выражением

,

где u=4 – входное воздействие, ko – коэффициент передачи объекта.

Из графика коэффициент передачи объекта можно принять равным 1,1.

Оценку неизвестных постоянных Т₁, Т₂, а также более точное значение ko, обеспечивающих наилучшее приближение расчетной кривой и экспериментальной кривой разгона, заданной численно, можно получить с помощью функции genfit(Vt, Vy, Vs, F). Эта функция возвращает вектор параметров Т функции F, дающий минимальное среднеквадратическое отклонение функции F(t, Т₁, Т₂,..Тn) от некоторой функции y(t), заданной множествами (векторами) значений Vy, Vt. Функция F должна быть задана в виде вектора, содержащего непосредственно саму функцию F в символьном виде, и выражения всех её производных по параметрам Т (в том числе и по , для чего введем в вектор Т).

Задаем начальное приближение вектора параметров Т₀, Т₁, Т₂ и обращаемся к функции genfit(Vt, Vy, Vs, F)

Выводим вектор параметров Т

,

вектор рассчитанных значений функции с уточненными параметрами Т

и строим графики исходной и расчетной кривых

Передаточная функция объекта в приращениях с учетом запаздывания будет иметь вид:

,

где ; ; ; .

Аналогичный результат можно получить используя для поиска вектора параметров функции h(t), дающего минимальное среднеквадратическое отклонение функции h(t) от численно заданной функции y(t_i) (минимизируемый критерий поиска), программу, реализующую метод покоординатного спуска.

Метод заключается в задании начального значения параметров и последующего их поочередного пошагового изменения в направлении, улучшающем критерий поиска. Если изменение любого параметра не приводит к улучшению критерия, уменьшают шаг изменения параметров. Если шаг станет меньше заданной погрешности поиска, процесс поиска завершают.

Алгоритм программы:

1) задают начальное значения шага изменения параметров dTN, погрешность поиска или точность оценки параметров eps, начальные значения параметров Т_i;

2) рассчитывают переходный процесс h(t,T,nT,u) и минимизируемый критерий поиска Kriteri_o;

3) обнуляют признак улучшения критерия Priznak, устанавливают счетчик параметров i в ноль;

4) изменяют параметр Т_i на величину шага dTN;

5) рассчитывают переходный процесс h(t,T,nT,u) и критерий поиска Kriteri_n;

6) если произошло улучшение критерия, т.е. Kriteri_n< Kriteri_o, то устанавливают признак улучшения критерия в единицу, значение Kriteri_n переписывают в Kriteri_o и повторяют изменение параметра, вычисление критерия и перезапись его на место предыдущего до тех пор, пока значения критерия не ухудшится; в этом случае возвращают предыдущее значение параметра и переходят к изменению следующего параметра; если массив параметров закончился, возвращаются к первому параметру (i=0) и продолжают вычисления;

7) если значение критерия на первом шаге не улучшилось, изменяют знак dTN на противоположный, изменяют параметр на удвоенную величину шага dTN, рассчитывают переходный процесс h(t,T,nT,u) и критерий поиска Kriteri_n; если произошло улучшение критерия то проводят вычисления аналогичные п.6; если же критерий не улучшился, возвращают предыдущее значение параметра Т_i и увеличивают счетчик параметров на единицу;

8) если массив параметров не закончился (), возвращаются к п. 4; если массив параметров закончился массив параметров закончился (), а признак улучшения критерия Priznak остался равным нулю, уменьшают шаг dTN в два раза и сравнивают с точностью оценки параметров eps;

9) если dTN> eps возвращаются к п.3, т. е. продолжают поиск;

если - заканчивают поиск; последние значения параметров и будут оптимальными.

Пусть функция h(t) как и в предыдущем случае является решением дифференциального уравнения второго порядка

Задаем порядок уравнения, начальный шаг изменения параметров, точность оценки параметров, начальные значения параметров и записываем программу:

Обращаемся к программе и выводим вычисленные параметры

График функции

достаточно близко совпадает с исходной функцией

Расчет переходного процесса по дифференциальному уравнению можно также производить методом конечных разностей при малом шаге дискретизации времени Dt. Для объекта с передаточной функцией (1) дифференциальное уравнение имеет вид:

.

В конечных разностях для дискретных моментов времени это уравнения запишется как

.

Выражая из последнего уравнения , запишем рекуррентную формулу вычисления через предыдущие значения функции и управляющее воздействие :

или

,

где ,

, .

Вычисления производят в цикле, начиная с , для чего первые два значения у должны быть заданы.