Признаки равенства треугольников

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ 7-8 КЛАССА

Аксиома параллельных. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Признак параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Свойство параллельных прямых. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то при этом образуются равные внутренние накрест лежащие углы.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной из его сторон равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Обобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам второго треугольника, то треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники равны.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Г еометрическое м есто внутренних т очек угла, равноудаленных от его сторон, - биссектриса угла.

Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению сторон треугольника, заключающих эту биссектрису.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре окружности, вписанной в треугольник.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием.

Свойства равнобедренного треугольника.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой.

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теоремы об углах треугольника. Сумма внутренних углов треугольника равна 180◦.

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов.

Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Неравенство треугольника. Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника. Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна третьей стороне треугольника. Средняя линия треугольника равна половине этой стороны.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а соответствующие стороны пропорциональны, т. е.

△ABC ∼ △A1B1C1 ⇐⇒ ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1, BC/B1C1= AC/A1C1= AB/A1B1

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

1. Два угла одного из них соответственно равны двум углам другого.

2. Две стороны одного из них соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.

3. Три стороны одного из них соответственно пропорциональны трем сторонам другого.

Прямоугольные треугольники.

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Средним геометрическим (средним пропорциональным) двух неотрицательных чисел называется квадратный корень из произведения этих чисел.

Теорема. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

Окружность

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (называемой центром окружности).

Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром, также называют радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр.

Г еометрическое м есто т очек, удаленных от данной точки назаданное положительное расстояние- это окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника- точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Г еометрическое м есто т очек, равноудаленных от концов отрезка- серединный перпендикуляр к отрезку.

Теорема. В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник - точка пересечения биссектрис треугольника.

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр треугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180⁰.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку (называемую точкой касания).

Теорема о касательной. Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Теорема (обратная). Если прямая, проходящая через точку, лежащую на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной

к окружности.

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Угол между хордами окружности равен полусумме дуг, высекаемых на окружности этими хордами.

Угол между секущими, проведенными из одной точки равен полуразности дуг, высекаемых на окружности этими секущими.

Теорема об отрезках хорд. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

Теорема о касательной и секущей. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущии, то произведения всей секущей на ее внешнюю часть равны и равны квадрату

касательной.

Четырехугольники