Выполнение работы

Исходные данные. Данные для выполнение работы, полученные у преподавателя, заносят в таблицу исходных данных (рис.4). Исходные данные содержат информацию о трех видах входных управляющих факторах, для которых необходимо провести экспериментально-статистическое исследование и оптимизацию технологического объекта.

Рисунок 4. Исходные данные для решения задачи оптимизации

По каждому из факторов в таблице приведены наименование, единицы измерения, область допустимых значений и значение, при котором осуществляется реализация процесса (исходный рабочий режим). Выходным контролируемым параметром исследуемого процесса является концентрация конечного продукта А (процентная концентрация).

Дальнейшее исследование предполагает реализацию эксперимента для получения уравнения регрессии (модели), связывающего концентрацию продукта А со значениями факторов, указанных в таблице-задании. Эксперименты реализуются в области, центром которой является режим процесса. По полученной модели необходимо определить возможность повышения концентрации продукта А изменением режима процесса. Если это возможно, то используя метод крутого восхождения, необходимо определить параметры режима, при которых обеспечивается наибольшее значение концентрации.

Определение плана эксперимента. Как указывалось выше, план эксперимента представляет собой набор значений входных факторов, при которых исследователь выполняет наблюдения выходного контролируемого параметра. Количество различных значений факторов, их координаты зависят в первую очередь от структуры модели, которую предполагает исследователь. Очевидно, что чем больше гипотетическая модель отличается от линейной, тем больше различных значений должен принимать каждый фактор при реализации эксперимента. В настоящее время, в практике исследования технологических объектов широкое распространение получили эксперименты, в плане которых каждый фактор имеет только два различных значения - два уровня. При этом эксперименты, реализующие все возможные сочетания уровней факторов, называются полными факторными экспериментами. Для случая трех факторов имеет план с число точек равным 8. План данного типа пригоден для получения независимых оценок коэффициентов регрессионной модели следующего общего вида:

(8)

Квадраты значений факторов в этом полиноме третьей степени отсутствуют. Модель состоит как бы из двух частей.: линейной и оставшейся нелинейной части. Очевидно, что чем больше область изменения входных факторов, для которой оцениваются коэффициенты модели, том больше оснований предполагать существенным влияние нелинейной составляющей модели. Наоборот, чем меньше область эксперимента, тем меньше влияние нелинейной части.

Приведенными рассуждениями руководствуются при выборе интервалов варьирования факторов. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, и вычитание - нижний уровни фактора. При этом, за основной уровень каждого фактора принимается координата, соответствующая центру области экспериментирования. Казалось бы, чем меньше интервалы варьирования, тем больше предпосылок для линейности модели. Однако, значение интервала варьирования по каждому из факторов ограничено снизу, в первую очередь, погрешностями приборов и устройств, с помощью которых измеряются и устанавливаются значения факторов при экспериментировании. Обычно на практике используют относительную погрешность приборов и устройств.

Относительно верхней границы интервала варьирования четких рекомендаций дать нельзя. Однако рекомендуется ограничить его 5-7% от области (интервала) допустимых значений по каждому фактору.

Определение верхней и нижней границы по каждому фактору приведено на рис.5.

Рисунок 5. Таблица значений факторов при экспериментировании.

Полученный результат сводим в таблицу значений, принимаемых факторами при экспериментировании (рис. 6).

Рисунок 5. Таблица значений факторов при экспериментировании.

Перед реализацией эксперимента необходимо определить количество повторений экспериментов в каждой точке плана (число дублирующих опытов) и провести рандомизацию экспериментов.

Повторяемость экспериментов необходима как для определения точностных характеристик получаемой модели, так и для проверки ее адекватности. В каждой точке плана рекомендуется выполнять не более двух-трех экспериментов, что оказывается достаточным в большинстве практических задач.

В нашем исследовании количество повторений равно двум. Отсюда следует, что общее число экспериментов, которое необходимо провести, равно 16.

В полных факторных экспериментах для упрощения записи условий проведения каждого эксперимента (опыта) и обработки результатов выполняют нормирование значений каждого фактора таким образом, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной - нулю. Нормировка осуществляется по формуле

(9)

Где х_j1 - нулевой уровень; h_j - интервал варьирова­ния; x_j - значение фактора; j - номер фактора.

В безразмерной системе координат х_j0 принимает значение - 0, верхний уровень х_j0+h_j=x_jв - зна­чение +1, нижний уровень х_j0-h_j=х_jн - значение - 1.

Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами (х₀₁, х₀₂,..., х_0n).

В нормированных переменных координаты точек в плане эксперимента записываются в виде таблицы (рис.6).

Рисунок 6. составление плана эксперимента.

Эти 16 экспериментов должны реализовываться в случайном порядке, для определения которого используют прием рандомизации.

Рандомизацию экспериментов осуществляют с помощью специальной таблицы - таблицы случайных чисел. Ниже приведен фрагмент таблицы случайных чисел (таблица 1).

Таблица 1

Фрагмент таблицы случайных чисел

Рандомизацию следует проводить следующим образом: в таблице случайных чисел выбирается некоторый столбец (выбор тоже может быть случайным), из которого в порядке их следования выбираются числа от 1 до числа равного числу экспериментов. в нашем случае числа от 1 до 16. Если встречается уже выбранное число, от оно отбрасывается. Необходимо отметить, что и сами числа, и входящие в их состав цифры являются случайными. Поэтому из таблицы можно извлекать необходимые числа в любой последовательности. Выберем для нашего случая первый столбец. Уже первое число 1534 дает последовательность случайных чисел 1, 5, 3, 4, либо 15, 3. 4. Остановимся на последней, и вообще, договоримся, что как только встретится сочетание двух цифр, обозначающих число от 10 до 15, то сражу же мы его включаем в нашу последовательность. Итак, имеем 15, 3, 4, далее по столбцу: 6, 12, 8. 7, 9, 1, 5, 2, 13, 10. Остались числа 11, 14, и 16, поэтому переходим к следующим столба и ищем далее уже эти числа.

Получаем: 14 (столбец 5, 4-я строка сверху), 11 (там же, 4-я строка снизу), 16.

Таким образом, наша последовательность следующая: 15, 3, 4, 6, 12, 8. 7, 9, 1, 5, 2, 13, 10, 14, 11, 16. Эта последовательность заносится в таблицу реализации экспериментов (рис. 7).

Рисунок 7. Рандомизация экспериментов.

Затем проводим вычислительный эксперимент и получаем результаты наблюдений (рис. 8).

Рисунок 8. Реализация вычислительного эксперимента.

В левой части таблицы представлен план эксперимента, записанный как в нормированных, так и в натуральных значениях входных факторов. Эта часть таблицы заполняется на основании таблицы значений факторов при экспериментировании (рис.5). В правой части таблицы число столбцов соответствует числу повторений экспериментов в каждой точке плана. Каждая клетка в этой части таблицы разделена для записи порядкового номера эксперимента в общей их последовательности, и для записи результата эксперимента. Из таблицы видно, что первым должен выполняться эксперимент при следующих значениях факторов: температура - 66,75 ⁰; рН - 7,1; скорость вращения - 46,2 об/мин. Проводим при этих условиях два параллельных опыта - для определения воспроизводисмости. Концентрация продукта на выходе составила: 177,3 г/л (первый опыт) и 186,2 г/л (второй опыт).

Построение модели процесса. Обработка экспериментальных данных. Обработка экспериментальных данных подразумевает выполнение расчетов, необходимых для проверки гипотезы о значимости полученных оценок коэффициентов модели (уравнение регрессии), гипотезы об адекватности модели.

1. Расчет оценок дисперсии воспроизводимости эксперимента в каждой точке плана проводя по формуле:

(10)

- оценка дисперсии воспроизводимости в i-той точке плана,

m – число повторений экспериментов в каждой точке плана,

y_i1 - значение выходного контролируемого параметра в 1-том эксперименте в i-той точке плана,

- оценка математического ожидания выходного контролируемого параметра в i-той точке плана.

Расчетные формулы приведены на рис. 9.

Рисунок 9. Расчет оценок воспроизводимости эксперимента.

Расчет выполняется для каждой пары параллельных измерений при одинаковых значениях факторов. Результаты вычислений представлены на рис.10.

Рисунок 10. Расчетные значения оценки дисперсии и воспроизводимости.

Для того чтобы сделать вывод о воспроизводимости испольуют критерий Кохрена. Результаты расчетов приведены на рис.11.

Рисунко 11. Оценка дисперсии воспроизводимости.

Далее следует расчетать и оценить коэффициенты модели. Последовательность операций приведена на рис. 12.

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (а).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (б).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (в).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (г).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (д).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (е).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (ж).

Рисунко 12. Оценка коэффициента модели (з).

По результатам вычислений формируется таблца оценко коэффициентов модели (рис. 13).

Рисунко 13. Таблица оценок коэффициентов модели.

Теперь приступаем к построению таблицы крутого восхождения. (рис.14).

Рисунок 14. Построение таблицы крутого восходжения (а).

Рисунок 14. Построение таблицы крутого восходжения (б).

Рисунок 14. Построение таблицы крутого восходжения (в).

Информационное сообщение (рис.15) говорит об окончании работы.

Рисунок 15. Информационное соощение окончания работы.

Если оптимум не достигнут, то расчет повторяется с начала. При этом результаты расчетов (рис.16) следует пересохранить с другим именем, поскольку следующий расчет будет заноситься в этот же файл с заменой иняормации.

Таблица - задание

температура градус С 60 75 66

рН единицы рН 6 8 7

Скорость вращения об/мин 43 47 46

Delta1 = 0.75

Delta2 = 0.1

Delta3 = 0.2

Таблица значений факторов при экспериментировании

1 температура градус С 65.25 66.75

2 рН единицы рН 6.9 7.1

3 Скорость вращения об/мин 45.8 46.2

Таблица реализации экспериментов

1 +1 66.75 +1 7.1 +1 46.2 15 177.3 1 186.2

2 +1 66.75 +1 7.1 -1 45.8 3 175.7 5 184.5

3 +1 66.75 -1 6.9 +1 46.2 4 173.2 2 181.9

4 +1 66.75 -1 6.9 -1 45.8 6 171.7 13 180.3

5 -1 65.25 +1 7.1 +1 46.2 12 175.8 10 184.6

6 -1 65.25 +1 7.1 -1 45.8 8 174.2 14 182.9

7 -1 65.25 -1 6.9 +1 46.2 7 171.7 11 180.3

8 -1 65.25 -1 6.9 -1 45.8 9 170.2 16 178.7

Таблица оценок коэффициентов модели

178.08 115.78 2.32 Значим

0.78 0.50 2.32 Значим

2.08 1.35 2.32 Значим

0.80 0.52 2.32 Значим

0.00 0.00 2.32 Незначим

0.00 0.00 2.32 Незначим

0.03 0.02 2.32 Значим

Таблица крутого восхождения

66.28 7.10 46.08 0.00 185.22 176.4 180.81

66.56 7.20 46.15 0.00 187.95 179.0 183.475

66.84 7.30 46.23 0.00 190.68 181.6 186.14

67.13 7.40 46.31 0.00 193.515 184.3 188.9075

67.41 7.50 46.38 0.00 196.35 187.0 191.675

67.69 7.60 46.46 0.00 199.185 189.7 194.4425

67.97 7.70 46.54 0.00 202.02 192.4 197.21

68.25 7.80 46.62 0.00 204.96 195.2 200.08

68.53 7.90 46.69 0.00 207.795 197.9 202.8475

68.81 8.00 46.77 0.00 210.735 200.7 205.7175

69.09 8.10 46.85 0.00 213.57 203.4 208.485

69.38 8.20 46.92 0.00 216.51 206.2 211.355

69.66 8.30 47.00 0.00 219.45 209.0 214.225

69.94 8.40 47.08 0.00 222.39 211.8 217.095

70.22 8.50 47.15 0.00 225.33 214.6 219.965

70.50 8.60 47.23 0.00 228.375 217.5 222.9375

Рисунок 16. Файл Result.

В отчете приводятся все итоговые расчеты и конечное уравнение, которое описывает оптимальные условия получения целевого продукта с приведение значений факторов.