Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим точку массы ,перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения ,где она имеет скорость ,в положение , где ее скорость равна .

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению ,выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную к траектории точки направленную в сторону движения, получим:

.

Стоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде

.

В результате будем иметь:

. (8.13)

Умножив обе части этого равенства на , внесём под знак дифференциала. Тогда, замечая, что ,где –элементарная работа силы , получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

.

Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках и найдём окончательно:

. (8.14)

Уравнение (8.14) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором её перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Пример 2. Среднее показание динамометра, установленного между тепловозом и вагонами грузового поезда, за с равно . В течение этого времени поезд двигался на подъём ( – угол подъема), и скорость его увеличилась от до км / ч. Коэффициент суммарного сопротивления движению состава равен . Определить вес состава.

Решение. Рассматриваем поступательное движение состава как движение материальной точки. Применим к его движению теорему импульсов в проекциях на ось , направленную по траектории движения поезда в сторону его движения.

Согласно уравнению (8.6), для промежутка времени от до имеем

.

Так как векторы количеств движения и направлены в сторону направления оси , то

и ,

.

На состав действуют силы: движущая сила , приложенная со стороны тепловоза, модуль которой показывает динамометр, вес состава ,нормальная реакция пути и сила сопротивления движению состава с модулем .

Проекции импульсов этих сил на ось можно определить по первой формуле (8.2) (при F = const):

,

где – проекция соответствующей силы на ось , – время её действия. Проекции импульсов сил , , и на ось соответственно равны

; ; ; 0.

Подставив эти значения в уравнение (8.6), получим

Для малого угла

, .

Тогда получим

,

откуда

.