Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Нормированные пространстваВ евклидовом пространстве обобщением понятия длины вектора является его норма. Определение 3.2. Функцию, заданную на линейном пространстве , которая каждому вектору ставит в соответствие действительное число , называют нормой вектора, если она удовлетворяет следующим аксиомам: , причем ; , ; , при всех (неравенство треугольника). При этом линейное пространство , в котором введена норма , называется нормированным пространством. Отметим, что евклидовы пространства и нормированные пространства есть линейные пространства с дополнительными структурами – скалярным произведением и нормой соответственно. При этом если в линейном пространстве введено скалярное произведение, то исходя из этого скалярного произведения можно ввести и норму в этом пространстве, то есть превратить его в нормированное пространство. Теорема 3.2. Если – евклидово пространство со скалярным произведением , то есть нормированное пространство с евклидовой нормой . (3.2) □ Докажем, что норма при помощи формулы (3.2) введена корректно (докажем выполнимость аксиом ). Выполнимость аксиомы следует из аксиомы определения евклидова пространства. Выполнимость аксиомы доказывается непосредственно: , . Выполнимость аксиомы доказывается с использованием неравенства Коши-Буняковского, которое выполняется в силу того, что – евклидово пространство: ■ Приведем далее различные способы введения норм в двух евклидовых пространствах и . Рассмотрим пространство . В нем норму определяют одним из четырех способов: 1) Введение нормы через стандартное скалярное произведение (евклидова норма или -норма): . 2) Введение нормы через скалярное произведение в виде билинейной формы: , где симметрическая (, ) положительно определенная матрица -го порядка. 3) -норма или октаэдрическая норма: . 4) -норма или кубическая норма: . В пространстве матриц размера норму можно вводить различными способами. Наиболее часто используется подход, связанный с введением так называемой индуцированной нормы. Определение 3.3. Если в пространстве введена норма (см. выше), то индуцированной (подчиненной) нормой в пространстве называется . При этом норма в пространстве называется порождающей норму в пространстве . Задавая различные нормы в , мы будем получать индуцированные нормы в (см. табл. 3.1). Таблица 3.1
Другой подход с введением нормы в пространстве связан с тем, что это пространство интерпретируют как линейное пространство размерности . Тогда можно ввести еще две нормы: 1) -норма , 2) -норма . В пространстве , элементами которого являются многочлены относительно переменной степеней, не превосходящих натуральное число : , евклидову норму можно ввести одним из следующих способов: , , где попарно различные действительные числа, . В любом евклидовом пространстве можно ввести понятие косинуса угла между двумя векторами. В силу неравенства Коши-Буняковского можно записать неравенство . (3.3) Определение 3.3. Углом между ненулевыми векторами в евклидовом пространстве называется значение от до , определяемое из равенства . (3.4) Заметим, что угол между ненулевыми векторами определен корректно в силу неравенства (3.3), то есть .
|