Теорема о циркуляции вектора

Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки а заданного поля в точку b, взять единичный положительный заряд элементарная работа сил поля на перемещении равна , а вся работа сил поля на пути от точки а до точки b определяется как

(2.1)

Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.

Интеграл (2.1) по замкнутому пути называют циркуляцией вектора и обозначают:

(2.2)

Термин “циркуляция ” происходит от латинского circulatio – круговращение. Он характеризует движение по замкнутой траектории и служит мерой завихренности движения.

Эта величина обладает замечательным свойством, котоpoe называется теоремой о циркуляции, математическая запись которой имеет вид:

(2.3)

Этим утверждается, что циркуляция вектора в любом электростатическом поле равна нулю.

Докззатеяьстао: дня поля точечного зарядаимеем:

Согласно принципу суперпозиции электростатических полей данное утверждение распространяется на поле системы зарядов.

Поле, обладающее свойством (2.3), называют по­тенциальным. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.

Теорема о циркуляции вектора позволяет сделать ряд важных выводов:

1. Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. (Иначе, выбрав контур интегрирования, совпадающий с силовой линией, получим значение интеграла (2.1) отличное от нуля).

2 Линии электростатического поля берут начало на положительных зарядах (истоках) и заканчиваются на отрицательных (стоках).

3 Работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую не зависит от траектории заряда.

(Доказательство" При «фиксированной» части замкнутой траектории и различных путях согласно (2.3) всегда получаем циркуляцию равную нулю. Следовательно, значение интеграла (2.1) не зависит от того, каким путем заряд перемещен из b в а).

4. Работа сил электростатического поля точечного заряда зависит только от начального и конечного положения перемещаемого заряда (непосредственно видно из доказательства теоремы). Такое же утверждение относится и к полю системы зарядов.