Подпространства линейных пространств

1^о. Определение подпространства и линейной оболочки

Определение 1. Непустое подмножество векторного пространства над множеством действительных чисел R называется линейным подпространством (или просто подпространством) линейного пространства , если выполняются следующие свойства:

1. , их сумма .

2. , R, имеем: .

Лемма 1. Подпространство векторного пространства само является векторным пространством.

Доказательство. Покажем, что удовлетворяет аксиомам сложения из определения линейного пространства. Так как ассоциативность и коммутативность выполняются для любых элементов , то эти свойства выполняются и для . Осталось проверить, что и , его противоположный элемент . Действительно, так как при . Аналогично, и и является противоположным к . Аксиомы умножения на скаляр справедливы, так как они справедливы для любых элементов .

Примеры:

1) и подпространства линейного пространства : они называются несобственными подпространствами.

2) Множество симметричных (квадратных) матриц порядка n является подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка n.

Рассмотрим множество векторов пространства .

Определение 2. Линейной оболочкой множества (линейной оболочкой ) будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество элементов вида

,

где R – произвольные вещественные числа.

Обозначение. – линейная оболочка . Множество называется множеством или системой образующих для .

Лемма 2. Любая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства , причем линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим .

Доказательство. То, что – подпространство, следует из того, что для выполняются аксиомы 1^о, 2^о Определения 1. Так как это подпространство содержит и, с другой стороны, любое другое подпространство, содержащее , будет содержать их линейные оболочки и значит содержит , т.е. – подмножество такого множества.

Пример. Если рассмотреть R , и , , ,, то является подпространством симметричных матриц порядка 2.