Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая лежит в плоскости . Уравнения этой кривой запишутся в виде

(22)

Найдем уравнение поверхности, образованной вра­щением кривой вокруг оси .

Возьмем на поверхности произвольную точку . Проведем через точку плоскость, перпендикулярную оси , и обозначим точки пересечения ее с осью и кривой соответ­ственно через и . Обозначим координаты точ­ки через . Отрезки и являют­ся радиусами одной и той же окружности. Поэто­му . Но , . Следовательно, или . Кроме того, очевид­но, .

Так как точка лежит на кривой , то ее координаты удовлетворяют уравнению (22). Стало быть, . Исключая вспомогательные координаты и точки , приходим к уравнению

. (23)

Уравнение (23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (23) получается из (22) простой заменой на , координата сохраняется.

Понятно, что если кривая (22) вращается вокруг оси , то уравнение поверхности вращения имеет вид

;

если кривая лежит в плоскости и ее уравнение , то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , есть .

Так, например, вращая прямую вокруг оси , получим поверхность вращения (ее уравнение или ). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию (не проходящую через ), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия называется направляющей конуса, точка ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Пусть направляющая задана уравнениями

(24)

а точка вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку Образующая, проходящая через точки и , пересечет направляющую в некоторой точке . Координаты точки удовлетворяют уравнениям (24) направляющей:

(25)

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки и , имеют вид

. (26)

Исключая , и из уравнений (25) и (26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты , и .

Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в точке , если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости .

Решение: Пусть любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки и точку пересечения образующей с эллипсом будут . Исключим , и из этих уравнений и уравнения

(27)

(точка лежит на эллипсе), . Имеем, , . Отсюда и . Подставляя значения и в уравнение эллипса (27), получим

или .

Это и есть искомое уравнение конуса.