Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0 – К4.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.6 − К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f₁(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 6, 9 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через т. О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 5, 7, 8 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 0 − 5) или по окружности радиуса R (рис. 6 − 9) движется т. М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s = AM = f₂(t) (s выражено в см, t - в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0 − 5 и для рис. 6 − 9; там же даны размеры b и l. На рисунках т. М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится с противоположной стороны). Требуется определить скорость и ускорение точки в момент времени t ₁=1c.

Указания. Задача К4 – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и ускорений при сложном движении. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t ₁=1c, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). В случаях, относящихся к рис. 6 − 9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t ₁=1 c (с помощью угла между радиусами СМ и СА в этот момент).

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах на рис. 3,4,5,7,8 векторы направлены перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому в этих вариантах следует выбрать оси xyz, считая ось z направленной на нас. Направление на нас изображается значком , а от нас: .

Таблица К4

Пример К4. Диск радиуса R (рис. К4) вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка по закону j = f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4 дуговой стрелкой.) По ободу ADB движется т. М по закону s = AM = f₂(t); положительное направление отсчета s от A к D.

Дано: R = 0,5 м; j = 2 t ³ - 4 t ²; s = (pR/6)(7 t – 2 t ²)

(j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: v _аб и а _аб в момент времени t ₁=1c.

Решение. Рассмотрим движение т. М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным, а вращение диска – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

(1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону:

s = AM = (pR/6)(7 t – 2 t ²). (2)

Сначала установим, где находится точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t = 1 c, получим

, или

Изображаем на рис. К4 т. М₁ в положении, определяемом этим углом.

Теперь находим числовые значения u_ОТ,

где r_ОТ – радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t ₁ = 1c, учитывая, что R = 0,5 м, получим:

(3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону; направлен к центру О дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4 и К4а.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону

j = 2 t ³ - 4 t ². Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = = 6 t ²-8 t; ε = = 12 t – 8.

при t ₁ = 1 c . (4)

Знаки указывают, что при t ₁ = 1 c направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4 соответствующими дуговыми стрелками. Тогда в момент времени t ₁ = 1 c, учитывая равенства (4), получим

(5)

Изображаем на рис. К4 и К4а векторы и с учетом направлений ω и ε и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Т. к. угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 90˚, то численно в момент времени t₁=1 c [см. (3) и (4)]:

(6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (в данном случае никуда проецировать не надо, т. к. эта плоскость совпадает с плоскостью рисунка), и, повернув затем эту проекцию в сторону ω, т.е. по ходу часовой стрелки на 90˚. Изображаем вектор на рис. К4а.

4. Определение , . Поскольку переносная и относительная скорости точки направлены по одной прямой в противоположные стороны, то абсолютная скорость будет равна разности их модулей: = 0,215 м/c

и направлена в сторону большей скорости.

По теореме о сложении ускорений: (7)

Для определения а_аб проведем координатные оси М₁xy (см. рис. К4а) и вычислим проекции вектора на эти оси. проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t ₁ = 1c:

Отсюда находим значение а_аб в момент времени t ₁ = 1c:

Ответ: v_аб = 0,215 м/с; а_аб = 0,957 м/с².