Приклад виконання завдання

До системи однорідних тіл 1 та 2 (рис. 8.11), що обертаються з кутовою швидкістю = 6с^-1, прикладається обертальний момент М = (3 + 7t) Н • м. Знайти статичні та додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t₁ = 2с, якщо:

m₁=3 кг; m₂=5 кг; е₁=0,1 мм;е₂= 0,3 мм; l₁= 0,25 м; l₂ = 0,25 м; а = 0,05 м; b = 0,15 м; R₁=0,1 м; R₂=0,2 м.

Розв'язання. Переміщенню тіл 1 та 2 (рис 8.11) перешкоджають в'язі: нерухомі (циліндричні) шарніри А і В. На підставі аксіоми звільнення від

Рисунок 8.1

Рисунок 8.2

Рисунок 8.3

Рисунок 8.4

Рисунок 8.5

Рисунок 8.6

Рисунок 8.7

Рисунок 8.8

Рисунок 8.9

Рисунок 8.10

в'язей, дію шарнірів А і В та тіла замінюємо реакціями в'язей – Y_A, X_A, Y_B, X_B (рис. 8.12).

Рисунок 8.11

Реакції Y_A, X_A, Y_B, X_B запишемо як суму статичних Y_A^C, X_A^C, Y_B^C, X_B^C та додаткових динамічних реакцій Y_A^Д, X_A^Д, Y_B^Д, X_B^Д.

Y_A = Y_A^C + Y_A^Д, X_A = X_A^C + X_A^Д, (8.1)

Y_B = Y_B^C + Y_B^Д, X_B = X_B^C + X_B^Д.

Рисунок 8.12

Статичні реакції в'язей визначаються при = 0, = 0 з рівнянь (рис.8.12):

Розв'язуючи систему рівнянь, маємо:

таким чином маємо: R_A^C = 54,85 Н, R_B^C = 23,63 Н.

Запишемо рівняння для визначення додаткових динамічних реакцій в'язей:

де - кутове прискорення і - кутова швидкість тіл при t₁ = 2 с,

I_xzi і I_уzi - доцентрові моменти інерції тіл (i = 1,2).

Кутову швидкість та кутове прискорення тіл знайдемо із диференціального рівняння руху тіл навколо осі z

(8.3)

де I_Z - момент інерції тіл відносно осі z.

Оскільки , тоді

(8.4)

Інтегруємо диференціальне рівняння (8.4) при початкових умовах: при

t₁= 0,

(8.5)

Звідки:

Визначимо кутове прискорення (8.3) та кутову швидкість (8.5) при

t₁ = 2 c.

де

Оскільки значення і , від'ємні, то кутове прискорення та кутова швидкість тіл при t₁ =2с направлені в протилежну сторону ю0(у напрямку крутного моменту М).

Координати центра мас та доцентрові моменти I_xzi і I_уzi тіл 1 і 2 (рис. 8.11):

Або, підставляючи числові дані, отримаємо:

Тепер із рівнянь (8.2) знаходимо додаткові динамічні реакції шарнірів А і В через їх проекції на осі X та У.

Додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В

При t₁= 2 с додаткові динамічні реакції шарнірів складають 62,2% для шарніра А та 29,2% для шарніра В від статичних реакцій в'язей.