Розв’язування. 1. Розглянемо рух механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3, з’єднаних нитками

1. Розглянемо рух механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3, з’єднаних нитками. Система має один ступінь вільності, тобто існує одне незалежне переміщення, яке однозначно визначає положення системи. За узагальнену координату вибираємо переміщення тіла, прискорення якого треба знайти, тобто переміщення вантажу 1. Тоді узагальнена швидкість – це швидкість вантажу 1.

;

Запишемо рівняння Лагранжа II роду для обраної узагальненої координати:

. (6.1)

Визначимо кінетичну енергію системи, як суму енергій тіл системи. Враховуючи, що тіло 1 рухається поступально, шків 2 обертається навколо нерухомої осі, а рух котка 3 - плоский, отримаємо

, (6.2)

де моменти інерції шківа 2 (маса розподілена на зовнішньому ободі) і однорідного котка 3 радіусом відповідно дорівнюють:

, . (6.3)

Виразимо швидкості, що входять в (6.2) через узагальнену швидкість. Врахуємо, що точка К (рис.Д6.б) дотику з похилою площиною для тіла 3 є миттєвим центром швидкостей:

(6.4)

Підставимо (6.3) і (6.4) в рівняння (6.2), отримаємо:

. (6.5)

Кінетична енергія залежить тільки від узагальненої швидкості , тому, підставляючи (6.5) у ліву частину рівняння (6.1), отримаємо

(6.6)

2. Визначимо узагальнену активну силу:

. (6.7)

Зобразимо діючі на систему активні сили і момент (рис.Д6.б). Задамо системі можливе переміщення, при якому узагальнена координата зростає, тобто >0. Враховуючи напрямок можливого переміщення вантажу 1, покажемо можливі переміщення кожного з тіл: для тіла 2 – поворот на кут , для котка 3 – переміщення центру мас . Для визначення узагальненої активної сили обчислимо суму можливих робіт сил та моменту на заданому можливому переміщенні системи. Отримаємо:

(6.8)

Виразимо всі можливі переміщення через , враховуючи, що залежності між переміщеннями аналогічні залежностям (6.4) між швидкостями, і отримаємо:

(6.9)

Остаточно, узагальнена активна сила, з урахуванням (6.8) і (6.9), буде мати вигляд:

(6.10)

5. Підставимо (6.6) і (6.10) в рівняння Лагранжа II роду (6.1):

(6.11)

Підставимо числові значення та знайдемо прискорення вантажу 1 (вважаємо ).

Відповідь: .