Непрерывность сложной функции

Пусть функции

непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где , i =1,2,…,m. Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть последовательность . Тогда в силу непрерывности функций в точке i =1,2,…,m, , а в силу непрерывности функции f в точке , а в силу непрерывности функции f в точке . Но это и означает, что , то есть сложная функция непрерывна в точке . Свойство 2 доказано.

3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Теорема. Если функция f непрерывна в точке и (), то

().

Доказательство этой теоремы, как и в случае функций одной переменной, почти непосредственно вытекает из определения Коши.

4. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема. Пусть функция f непрерывна на связном множестве X, , , c – любое число, заключенное между и . Тогда на любой непрерывной кривой L, соединяющей точки и и лежащей в множестве X, найдется точка такая, что . Доказательство. Пусть , - уравнения непрерывной кривой L; соединяющей точки и и лежащей в множестве X. На отрезке определена сложная функция одной переменной t. Эта функция непрерывна на отрезке. В силу теоремы принимает значение c в некоторой . Другими словами функция f принимает значение c в точке . Теорема доказана.