Расчет спектра собственных колебаний по уточненной схеме

Для начала сосредоточим массы стержней в их средних и крайних точках, причем средней точке каждого стержня придадим половину его массы, а крайним – по ¼ этой величины. Обозначим эти массы согласно рисунку 5.

Рисунок 6 – Расположение и обозначение сосредоточенных масс

Подсчитаем величину каждой массы m_i и занесем значения в таблицу 1.

Таблица 1 – Значения сосредоточенных масс

Выполним проверку. Как видно из рисунка 5, суммарная длина всех стержней рамы составляет 6L. Тогда масса всей рамы вместе с электродвигателем составит

,

что согласуется с таблицей 1.

Пронумеруем динамические степени свободы системы с сосредоточенными массам, и, учитывая наложенные связи, направим соответствующим образом оси обобщенных координат (см. рисунок 6).

Рисунок 7 – Направления осей обобщенных координат

Матрица масс для такой системы (при данной нумерации сосредоточенных масс и динамических степеней свободы) будет иметь вид:

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных к соответствующим сосредоточенным массам по направлениям обобщенных координат (рисунки 7, 8, 9).

Рисунок 8 – Единичные эпюры , ,

Рисунок 9 – Единичные эпюры ,

Рисунок 10 – Единичные эпюры ,

Коэффициенты податливости системы δ_ij определим на ЭВМ.

Проконтролируем результаты расчетов сравнением некоторых d_i,j, вычисленных вручную и на ЭВМ, а также используя свойство взаимности коэффициентов d_i,j = d_j,i. Например, в результате ручного расчета получено значение коэффициента d₁₁ = d₀ = 3,999×10^-6 м/Н. Расчет на ЭВМ дает значение коэффициента 4×10^-6 м/Н. Разница объясняется учетом влияния продольных деформаций стержней в машинном расчете, а также погрешностями округления. Ниже в таблице 1 приведены значения коэффициентов в ручном и машинном расчетах (необходимо делать анализ размерностей).

Таблица 1

получим следующий вид матрицы относительной податливости (обозначена ниже как D1):

Матрицу C определим выражением

(4.1),

где , и вычислим ее собственные числа λ. Первые три собственных числа: λ₁=3,317*10⁵, λ₂=4,747*10⁴, λ₃=3,353*10³. Частоты собственных колебаний найдем так:

(4.2).

Результаты расчетов: ω₁=6,272 с^-1, ω₂=16,58 с^-1, ω₃=62,383 с^-1. Первые две частоты незначительно отличаются от найденных в п. 3.2 в меньшую сторону вследствие учета масс стержней.

Собственные формы колебаний определим по формуле

(4.3),

где Bi – собственные векторы матрицы С. В данном случае собственные формы примут вид:

С помощью данных векторов построим первые три формы собственных колебаний рамы (рисунок 10).

Рисунок 11 – Первые три формы собственных колебаний рамы