Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Сушность метода конечных элементовСтр 1 из 5Следующая ⇒ Динамика и прочность бытовых машин и приборов Курсовой проект
Исследование прочности и жесткости конструкции методом конечных элементов.
Студент: Васильев Фёдор Николаевич гр. 2303
Преподаватель: д.т.н., проф._Г.В. Лепеш
Санкт-Петербург
Задание на работу
- до момента появления пластических деформаций; -до момента разрушения
Сушность метода конечных элементов В методе конечных элементов (МКЭ) исходная в общем случае континуальная система заменяется дискретной моделью. Основная концепция МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как напряжение или перемещение, аппроксимируют дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Как правило, указанная непрерывная величина является неизвестной и подлежит определению в результате решения задачи. При построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом: 1. В области определения функции выделяют элементы конечной величины, имеющие общие узловые точки и в совокупности аппроксимирующие форму области (проводят дискретизацию области). 2. Непрерывную величину аппроксимируют на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины (функции элементов). 3. Из функций элементов строят кусочно-непрерывную функцию, определенную на всей области. 4. Составляют систему уравнений путем минимизации функционала, связанного с физической задачей. 5. Решают указанную систему уравнений относительно узловых значений. 6. Вычисляют искомые величины в элементе. Вывод основных уравнений МКЭ основывается на вариационных принципах решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием основной концепции метода. В наиболее общем объемном случае в пределах элемента перемещения представляют с помощью суммы аппроксимирующих функций , где f r(x,y,z) -заранее выбранные функции; -неизвестные параметры. Число параметров n выбирается равным числу узлов элемента, что дает возможность выразить смещения как линейные функции узловых смещений этого же элемента. Принимают, что смещение представляет линейную функцию координат и с помощью выражений для функций формы записывается с помощью матриц и векторов, содержащих блоки: , После того как сформирована матрица аппроксимирующих функций , вектор деформаций в n -КЭ можно записать с помощью матрицы дифференцирования , где матрица связи компонентов деформаций и узловых перемещений выражена зависимостью . Для получения разрешающей системы уравнений используют начало возможных перемещений (для всего тела), что обеспечивает выполнение условий равновесия , Проинтегрировав по всем элементам, будем иметь (Nэ - число элементов) находим Вследствие независимости произвольных вариаций { dUn } соотношение эквивалентно системе 3 NЭ линейных алгебраических уравнений Запись nÎi означает, что в уравнение входят только элементы, примыкающие к i -му узлу. Индекс i показывает, что в сумму входят составляющие, связанные с узлом i (в четырёхблочном векторе для тетраэдального элемента n сохраняется блок узла i). Используя механическую трактовку уравнения, будем рассматривать отдельные слагаемые как обобщенные усилия, а величину , как матрицу жесткости элемента n. Тогда если через { Pn } обозначить узловые усилия, которые статически эквивалентны граничным напряжениям , то уравнение для одного элемента имеет вид . Матрица жесткости элемента n имеет блочную структуру, связанную с блочной структурой векторов { Un } и { Pn }:
, где kii,...,kmm - квадратные подматрицы (блоки) размерности (3´3), , где . Подматрица kij показывает реакцию (обобщенное усилие) в узле i тетраэдра (элемента n) от единичного смещения его j -го узла при неподвижных узлах i, m, l. Так как вся конструкция состоит из совокупности элементов, то матрицы жесткости отдельных элементов объединяются в матрицу системы. В одном узле сетки обычно сходятся несколько элементов и каждый из них вносит вклад в матрицу жесткости, и i- я строка суммарной матрицы жесткости будет содержать соответствующие компоненты матриц жесткости элементов, примыкающих к i -му узлу, тогда матрица жесткости конструкции, содержащая N узлов, . Обозначая векторы внешних сосредоточенных в узлах сетки усилий и перемещений узлов сетки соответственно: , получим систему линейных уравнений относительно узловых смещений . По физическому смыслу уравнение) представляет собой уравнение равновесия системы (в смещениях). Для получения единственного решения система должна быть дополнена граничными условиями в перемещениях.
|