Стандартные метрические (нормированные) пространства

1. – n-мерное арифметическое пространство с радикальной метрикой (при это эвклидово пространство).

2. – -мерное арифметическое пространство с супремальной метрикой.

3. пространство ограниченных последовательностей с радикальной метрикой (координатное гильбертово пространство). (при это такие последовательности, сумма квадратов элементов которых конечна (т.е. ряд сходится). Эту сумму квадратов, т.е. сумму ряда, назовем квадратом длины вектора. Операции сложения и умножения на число определим как для конечномерных векторов-столбцов, то есть поэлементно.)

4. или пространство ограниченных последовательностей с супремальной метрикой.

5. пространство непрерывных функций с радикальной метрикой. Его пополнение - лебегово пространство.Норма пространстваЛебега : . При пространство гильбертово и обозначается как .

6. пространство непрерывных функций с супремальной метрикой (чебышевское).

7. или пространство раз непрерывно дифференцируемых функций с супремальной нормой (такая норма называется дифференциальной): .

8. пространства непрерывно дифференцируемых функций с радикальной метрикой. Их пополнение пространства Соболева.Норма пространств Соболева : . При пространство гильбертово и обозначается как .

Любое нормированное пространство является метрическим с метрикой . Выполнение первых аксиом очевидно. Третья выполняется в силу . Обратное, вообще говоря, неверно, то есть метрические пространства, вообще говоря, не являются нормированными. Но если потребовать, чтобы метрическое пространство обладало инвариантностью относительно сдвигов, то есть и однородностью относительно растяжений, то есть , то тогда верно и обратное, и норма элемента есть метрика, второй элемент которой есть ноль.

Для стандартных метрических пространств это так, так что все вышеприведённые примеры являются одновременно и примерами стандартных норм с геометрией, отличной от эвклидовой. Единичные шары в этих метриках изображены в примере 3.

Пример 2. Покажем, что является метрикой. Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Чтобы
проверить третью, то есть , докажем, что для любых имеет место неравенство .
Для этого зафиксируем и рассмотрим функцию . Так как , а , то возрастающая функция. Однако, метрика при не будет нормой, так как .

Пример 3. Рассмотрим пространство . Положив , а , мы получим единичную сферу в пространстве .

При уравнение этой сферы имеет вид: , и такая метрика называется октаэдрической, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет октаэдр.

При уравнение этой сферы имеет вид: , и такая метрика называется евклидовой (сферической), потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет обычная сфера.

Чебышёвская (кубическая) метрика: ||x||_∞=max{|x|,|y|}, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет куб.

На рисунке: 1 единичная сфера с чебышёвской(кубической) метрикой; 2 единичная сфера с евклидовой (сферической) метрикой; 3 единичная сфера с октаэдрической метрикой. Случай изображен пунктиром. При единичная сфера с гёльдеровской группой метрик стремится к чебышевской.

Определение. Последовательность точек линейного нормированного пространства сходится к точке (сходится по норме), если или .

Обозначение используется обычное: .

Сходимость по норме пространства называется равномерной сходимостью. Сходимость по норме пространства называется сходимостью в среднем.

Определение. Метрика (норма) ρ₁ сильнее, чем метрика (норма) ρ₂, если из сходимости по ρ₁ следует сходимость по ρ₂, но существует хоть одна последовательность, которая сходится по норме ρ₂, но не сходится по норме ρ₁.

Пример. Доказать, что метрика пространства сильнее метрики пространства .

, то есть не слабее . Теперь укажем последовательность , которая сходится по , но не сходится по . Эта последовательность стандартный пробник функционального анализа, . , а , то есть эта последовательность сходится по , но не сходится по .

Комментарий. В конечномерных пространствах все метрики (нормы)топологически эквивалентныв следующем смысле: для шара радиуса R, построенного на основе одной из норм, можно построить вписанный в него и описанный вокруг него шары, построенные на основе другой нормы (разумеется, другого радиуса). Поэтому здесь причиной некорректности может быть только вырожденность оператора , т.е. оператор должен быть проектором. Другими словами, размерности конечномерных пространств и не совпадают. Это и приводит к информационной недоопределённости, то есть некорректности прямой или обратной задачи.

В бесконечномерных пространствах это не так. Покажем, что чебышевская норма, по крайней мере, не слабее гёльдеровской, а дифференциальная не слабее чебышевской. ,но

.

Это и даёт теоретическую возможность подбора пространств для того, чтобы задача стала корректной. Кроме того, в бесконечномерных пространствах по теореме Рисса Фишера все сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны, т.е. тоже фактически эквивалентны. Сепарабельность означает, что на абстрактном множестве есть всюду плотное счётное множество (“счётный скелет”), то есть в бесконечномерном пространстве можно построить счетный базис. Мощности любых двух полных ортонормированных систем в сепарабельном пространстве одинаковы. В произвольных банаховых пространствах такой эквивалентности нет. По теореме Йордана фон Неймана, если , где банахово пространство, и для этих элементов выполняется правило параллелограмма , то можно определить скалярное произведение так, что пространство станет гильбертовым пространством. Для многих банаховых пространств это не так. Например, пространство функционалов , таких, что . Если и -непрерывные функции с непересекающимися носителями, то . Таким образом, правило параллелограмма не выполняется, так как (Вообще, скалярное произведение для радикальной нормы можно определить только при ) Поэтому в произвольных В -пространствах задача может быть корректной или нет в зависимости от выбора норм.

Примеры. 1. В пространстве найти расстояние между функциями а) (); б) (8);

в) (5); г) ().

2. В пространствах найти расстояние между функциями .

3. В пространствах найти расстояние между функциями а) ; б) .

4. В пространствах найти нормы элементов и и расстояние между ними.

5. В пространствах найти норму элемента .

6. Показать, что пространство не гильбертово.

Пространство полное нормированное пространство, то есть банахово. Уже отмечалось, что норма порождается скалярным произведением, если и только если выполняется равенство параллелограмма . Пусть . Тогда .