Сходимость в топологических пространствах

Определение. Последовательность точек {x_n} топологического пространства Х называется сходящейся к точке x₀ÎX, если любая окрестность x₀ содержит все точки последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа. При этом саму точку x₀ называют пределом последовательности и обозначают .

Комментарий. В обычной топологии, то есть в метрических пространствах, на прямой пределом последовательности является точка , для последовательности (a - фиксированное число) предел равен a, а последовательность , где множество натуральных чисел, не имеет предела. В обычной топологии предел последовательности, если он существует, может быть только один, а в топологических пространствах – несколько. Для пространств, не удовлетворяющих каким-нибудь аксиомам отделимости, свойства пределов могут быть весьма необычными. Так, в тривиальных топологических пространствах любая последовательность точек сходится к каждой точке xÎX, так как эта точка х имеет только одну окрестность – все множество Х и эта окрестность содержит все точки последовательности. Носитель может содержать конечное или бесконечное число точек , но топология их не различает.

Рассмотрим прямую с топологией Зарисского. В этой топологии любая точка является пределом натурального ряда. Действительно, зафиксируем произвольную окрестность U точки x. По определению топологии Зарисского, дополнение U до R состоит из конечного числа точек, то есть в U содержится бесконечное число точек. Поскольку в натуральном ряду бесконечное число точек, отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, все точки лежат в U.

Обычная и дискретная топологии удовлетворяют аксиомам А1 и А2. Однако дискретная топология не очень похожа на обычную. В дискретной топологии открытым является любое множество, то есть, в частности, любая точка x является сама своей окрестностью . В этом случае в окрестности точки x нет точек, отличных от x. Тогда любая фиксированная точка x может быть пределом только таких последовательностей, у которых, начиная с некоторого N, все члены равны x.

В произвольном метрическом пространстве точка х₀ тогда и только тогда принадлежит замыканию некоторого множества, когда в этом множестве существует последовательность, сходящаяся к х₀. В топологическом пространстве справедливо утверждение:

Если последовательность точек множества А топологического пространства (Х,t) сходится к некоторой точке x₀ÎX, то .

Обратное, вообще говоря, не верно.

Пример 1. Пусть пространство слипшихся точек. Носитель может содержать конечное или бесконечное число точек , но топология их не различает. Множество является единственной окрестностью для всех своих точек, поэтому любая последовательность точек сходится к любой точке множества согласно определению 1.