Непрерывные отображения

Комментарий. Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Определение 1. Точкой топологического пространства называют любой его элемент.

Определение 2. Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.

Определение 3. Для любого топологического пространства множество называется открытым если каждая точка имеет окрестность .

Пусть задано отображение и .

Определение 4. Множество , где называется образом множества А при отображении .

Определение 5. Для отображения множество называется прообразом множества В при отображении . Отображение сюръективно, если , инъективно, если и биективно, если оно сюръективно и инъективно.

Комментарий. Следует различать прообраз , определяемый для любого отображения и обратное отображение , существующее только для биективных отображений.

Пусть задано отображение , где - топологические пространства с топологиями соответственно и . В соответствии с определением окрестности точки в топологическом пространстве, теперь можно дать определение непрерывности отображения в точке.

Определение 6. Отображение называется непрерывным в точке , если точки , такая, что из того, что точка , следует, что . То есть .

Определение 7. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X. Если множество X фиксировано, отображения называют просто непрерывными, не указывая X.

Примеры. 1. Для произвольных метрических пространств Х и Y постоянное отображение является непрерывным.

Теорема 1. (Критерий непрерывности отображения): Отображение непрерывно если и только если для любого открытого множества пространства Y его прообраз принадлежит , то есть является открытым множеством топологического пространства X.

Необходимость. Пусть отображение непрерывно. Покажем, чтодля любого открытого множества пространства Y его прообраз принадлежит , то есть является открытым множеством топологического пространства X. Выберем открытое множество .

U - окрестность каждой своей точки y = F (x), . Тогда каждое имеет такую окрестность, что . Так как, по определению, V есть множество всех точек , таких, что , то . Так как каждое x принадлежит своему , то объединение всех содержит все x. Это значит, что . С другой стороны, все содержатся в V, то есть и их объединение содержится в V, то есть . Из двух включений и следует равенство Таким образом, V есть объединение открытых множеств , то есть оно само открыто по аксиоме топологии.

Достаточность. Теперь пусть для любого открытого множества U топологического пространства Y (то есть ) множество открыто в X (то есть принадлежит ). Покажем, что отображение непрерывно.Выберем произвольную окрестность точки F(x) в Y. Это открытое множество, и поэтому открыто в X по условию. При этом по построению . Итак, для любой окрестности точки F (x) существует окрестность точки x, такая, что содержится в , то есть выполнено определение непрерывности.

Комментарий. Итак, при непрерывном отображении прообраз открытого отображения открыт, а замкнутого замкнут. Для образов при непрерывных отображениях такого рода утверждения, вообще говоря, не имеют место.

Примеры. Непрерывное отображение f: R¹®R¹, где f(x)=arctgx, отображает бесконечный интервал R=(-¥, +¥) в интервал , т.е. открытое и замкнутое множество – в открытое, но не замкнутое множество.

Определение 8. Непрерывное отображение f: X®Y топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется открытым, если при этом отображении образ открытого множества открыт.

Определение 9. Непрерывное отображение f: X®Y топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется замкнутым, если при этом отображении образ замкнутого множества замкнут.

Пример. Тождественное отображение есть пример одновременно открытого и замкнутого отображения.

Комментарий. Эта теорема позволяет строить новые топологии. Пусть задан некоторый класс отображений из множества X в числовую прямую R с обычной топологией или в любое другое топологическое пространство. Зададим набор подмножеств в X, включив туда множества вида для всех открытых множеств U в R и для всех отображений F все их объединения и конечные пересечения, а также всё X и пустое множество. Полученный набор будет топологией.

Определение 10. Взаимно - однозначные и взаимно - непрерывные отображение из топологического пространства X в топологическое пространство Y называются гомеоморфизмами.

Определение 11. Если существует гомеоморфизм , то говорят, что X и Y гомеоморфны друг другу.

Комментарий. В этом случае мы можем наложить X на Y без самопересечений и разрывов, приклеивая к . Так что получается, что X и Y устроены одинаково.

Понятие гомеоморфизма являются центральным для многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие гомеоморфные, то есть одинаково устроенные пространства, и поэтому их можно считать разными экземплярами одного и того же объекта.