Линейного оператора

Пусть V и – линейные пространства. Оператором А, действующим из V в называется отображение сопоставляющее каждому элементу единственный элемент обозначаемый или Вектор y называется образом вектора x.

Оператор называется линейным, если для любых векторов из V и любого числа имеем:

Если то оператор A называется функцией (числовой).

Если V – произвольное линейное пространство и то оператор A называется функционалом.

Если то линейный оператор A называется линейным преобразованием пространстваV.

Пусть – множество всех линейных операторов, действующих из V в и Суммой операторов A и B называется оператор, обозначаемый который определяется условием

Произведением оператора A на число называется оператор, обозначаемый который определяется условием

Нулевым линейным оператором называется оператор O такой, что Тождественным оператором называется линейный оператор I такой, что для него выполняется

Теорема. Относительно введенных операций сложения линейных операторов и умножения линейного оператора на число множество само образует линейное пространство.

Произведением линейных преобразований A и B называется линейное преобразование, обозначаемое которое определяется условием Натуральная степень оператора определяется равенством

Справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

4)

В общем случае

5)

Линейное преобразование B (обозначаемое ) называется обратным к линейному преобразованию A, если

Если для преобразования A из того, что всегда следует, что то говорят, что оператор A является взаимно-однозначным отображением V на

Теорема. Для того чтобы для линейного преобразования A существовало обратное линейное преобразование необходимо и достаточно, чтобы оператор был взаимно-однозначным отображением V на

Пусть – базис линейного пространства и A – линейный оператор из в Тогда вектор x разлагается по базису:

Если то

Если – образы базисных векторов то они также разлагаются по заданному базису:

(23.6)

Матрица

(23.7)

у которой элементы столбцов являются соответственно координатами разложений (23.6), называется матрицей оператора A в базисе

Пусть для имеем разложение в базисе

(23.8)

Тогда для соответствующего образа существует разложение

(23.9)

В случае задания матрицы (23.7) оператора A, он определяется ею однозначно, а именно и его образа выполняется

где X и Y – столбцы координат (23.8) и (23.9) векторов x и y соответственно, т. е.

(23.10)

Все операции над линейными операторами, которые рассматривались выше, распространяются на матричную форму задания линейного оператора как соответствующие операции над матрицами, т. е. в заданном базисе оператор имеет матрицу оператор – матрицу AB и т. д. При этом нулевой оператор O имеет нулевую матрицу, а тождественный оператор I – единичную матрицу.

Пусть в линейном пространстве заданы два произвольных базиса и Тогда каждый вектор второго базиса разлагается по первому базису:

(23.11)

Матрица

(23.12)

транспонированная к матрице системы (23.11), называется матрицей перехода от базиса к базису

Связь между координатами одного и того же вектора x в базисах устанавливают формулы:

(23.13)

где X – матрица-столбец координат вектора x в базисе

– матрица-столбец координат этого же вектора x в базисе

Формулы (23.11) и (23.12) выражают зависимость между координатами вектора x в базисах

Если A – линейный оператор, имеющий в базисах линейного пространства матрицы A и B соответственно, то формула преобразования матрицы оператора при переходе к новому базису имеет вид:

(23.14)

Пример 1. Пусть – линейное пространство всех функций, непрерывных на отрезке Для всех определен оператор J по формуле

Доказать, что J – линейный оператор из в

Решение. Оператор является непрерывной функцией на отрезке Хорошо известно, что операция интегрирования обладает свойствами линейности, следовательно J – линейный оператор из в

Пример 2. Пусть – линейное пространство всех действительных функций, определенных и дифференцируемых на отрезке Для определим оператор D по формуле Очевидно, что D – линейный оператор из в поскольку линейность следует из свойств линейности производной.

Пример 3. Известно, что оператор A переводит базисные векторы линейного пространства в векторы В базисе найти:

1) матрицу оператора A;

2) образ вектора

Решение. 1) По условию Поэтому первый столбец матрицы A оператора составляют координаты вектора Поскольку то второй столбец матрицы A и состоит из координат вектора Третий столбец искомой матрицы состоит из координат вектора так как Следовательно, матрица A имеет вид:

2) Пусть где – образ вектора Тогда, согласно формуле (23.10), имеем:

Получаем

Пример 4. Известно, что операторы A и B переводят базисные векторы соответственно в векторы Записать формулы, по которым можно найти вектор пространства

Решение. Пусть в базисе заданы векторы и Запишем матрицы операторов в указанном базисе. Записывая координаты векторов столбцами, получим матрицу А. Используя аналогично координаты векторов получим матрицу B:

Для того чтобы получить матрицу осуществим соотвествующие линейные операции над матрицами A и B. Тогда

Если X, Y – матрицы-столбцы координат векторов x, y соответственно, то в матричной форме имеем:

Перемножая матрицы в правой части последнего равенства, получаем формулы для нахождения координат искомого вектора y:

Пример 5. В базисе пространства вектор a имеет координаты (1; 2; 3). Найти координаты вектора a в базисе где

Решение. Имеем Следовательно, матрица перехода от базиса к базису в данном случае имеет вид:

По условию и по формуле (23.13) Найдем матрицу Вычисляем:

(как произведение элементов диагонали).

Находя алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы C, получаем матрицу

Согласно формуле нахождения обратной матрицы, имеем

Тогда по формуле (23.13) получаем:

Таким образом, вектор a в базисе имеет координаты

Пример 6. В базисе пространства оператор A имеет матрицу Найти матрицу B этого же оператора в базисе где

Решение. Используя условие и равенства (23.11), (23.12), запишем матрицу перехода от базиса к базису

Матрицу B оператора в новом базисе найдем по формуле (23.14).

Находим

Тогда

Перемножая матрицы, получаем ответ:

Пример 7. Найти матрицу оператора A в базисе пространства если известно, что A отображает векторы и соответственно в векторы и

Решение. Из условия имеем и или в матричной форме где A – искомая матрица оператора A в базисе B – матрица, столбцами которой являются столбцы координат векторов C – матрица, столбцами которой являются столбцы координат векторов соответственно:

Поскольку то после умножения этого равенства справа на получаем если матрица существует.

Вычисляем и приходим к заключению, что существует.

По правилу нахождения обратной матрицы получаем:

Тогда