Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу

Рассмотрим формулы для определения работы и мощности силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, совершающего поступательное или вращательное движение.

1. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему поступательное движение.

Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение по отношению к инерциальной системе отсчета под действием силы , приложенной в произвольной точке (рис. 24).

В случае поступательного движения твердого тела все его точки движутся со скоростями одинаковыми по величине и направлению. Обозначим скорость тела .

Используя формулу (4.31), получим

, (4.49)

где - дифференциал радиус-вектора произвольной точки твердого тела .

Рис. 24. Поступательное движение твердого тела под действием силы

Поделив (4.49) на dt, получим выражение для определения мощности силы, действующей на тело, совершающее поступательное движение:

, (4.50)

где - угол между векторами силы скорости .

То есть мощность силы при поступательном движении твердого тела определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости твердого тела .

Интегрируя (4.49) на каком-либо конечном перемещении точки M из начального положения М ₀ в положение М ₁, получим полную работу силы, действующей на тело на этом перемещении

. (4.51)

2. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему вращательное движение.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной вертикальной оси Oz под действием силы , приложенной в произвольной точке этого тела М (рис. 25).

Рис. 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Положение точки М в осях Oxyz определяется радиус-вектором . Скорость точки М направлена по касательной к траектории движения (окружность с центром на оси вращения). Вектор этой скорости можно определить по векторной формуле Эйлера, известной из курса кинематики твердого тела

, (4.52)

где - вектор угловой скорости вращения твердого тела.

Используя формулу (4.32), получим

.

Меняя в круговом порядке сомножители в смешанном векторном произведении, получим

,

,

где - векторный момент силы , относительно центра O.

- угол между векторами момента и угловой скорости .

Учитывая, что:

1. - момент силы , относительно оси вращения Oz.

2. и следовательно ,

окончательно получим

. (4.53)

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.