Вторая основная задача динамики материальной точки

Вторую основную задачу динамики материальной точки формулируют следующим образом: по заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить закон движения, а также траекторию этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в декартовой прямоугольной системе координат.

В общем случае сила , а следовательно, и ее проекции на координатные оси, зависят от времени, координат движущейся точки и ее скорости. Поэтому уравнения (2.3) принимают вид

(2.3^/)

.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для системы трех дифференциальных уравнений (2.3^/) очевидно будет шесть произвольных постоянных: С ₁, С ₂, С ₃, С ₄, С ₅, С ₆.

Таким образом, после интегрирования системы (2.3^/) получаем, что каждая из координат движущейся точки x, y, z зависит от времени t и шести произвольных постоянных:

,

, (2.5)

.

Продифференцировав уравнения (2.5) по времени, определяют проекции скорости точки на координатные оси по формулам:

.

, (2.6)

.

Таким образом, задание силы не определяет конкретного движения материальной точки, а выделяет целый класс возможных движений, характеризующийся шестью произвольными постоянными. Действующая сила определяет только ускорение движущийся точки, а ее скорость и положение на траектории зависят от начальных условий по времени (начальное положение и начальная скорость (рис. 4)), которые имеют вид

, , .

Используя начальные условия (2.7), а также системы (2.5) и (2.6), получаем шесть уравнений для определения шести произвольных постоянных:

В общем случае задача интегрирования системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (2.3^/) является довольно сложной. Поэтому, если возможно интегрирование этой системы производят в два этапа. Рассмотрим эти этапы.

1. Первый этап – этап первых интегралов (уровень скоростей).

Представим систему уравнений (2.3^/) в виде

(2.3^//)

В результате интегрирования системы (2.3^//) определяются проекции скоростей на оси декартовой системы координат . Эти проекции называются первыми интегралами системы. Они содержит три произвольных постоянных С ₁, С ₂, С ₃:

(2.3^///)

Постоянные , , определяют из начальных условий по времени (; , , ).

2. Второй этап (уровень координат).

На втором этапе интегрируют систему уравнений (2.3^///) и определяют закон движения точки в координатной форме. Это решение содержит еще три произвольных постоянных , , и имеет вид

,

,

.

Постоянные , , определяются из начальных условий по времени (; , , ).