Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса

Определение 15.4 В конечномерном евклидовом пространстве E базис называется ортонормированным, если

Теорема 15.2 (Грамма–Шмидта). Во всяком евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.

Доказательство.

1. Пусть в E дан некоторый, вообще говоря, неортогональный базис . Построим вначале базис из попарно ортогональных элементов. Последовательное построение этих элементов будем называть процессом ортогонализации базиса.

Возьмем . Элемент будем искать в виде , где – некоторая константа. Подберем так, чтобы , для этого достаточно, чтобы

Заметим, что . Действительно, из

следует линейная зависимость и , что противоречит условию принадлежности этих элементов базису.

2. Допустим теперь, что нам удалось ортогонализовать элемент, и примем в качестве элемент

.

Потребуем, чтобы , но тогда в силу имеем

Покажем теперь, что в этом случае . Допустим противное: . Однако поскольку все элементы по построению есть некоторые линейные комбинации элементов , мы приходим к линейной зависимости , что противоречит условию теоремы. Следовательно, .

3. Процесс ортогонализации продолжается до исчерпания множества элементов , после чего достаточно пронормировать полученные элементы , чтобы получить искомый ортонормированный базис , где

Теорема доказана.

Замечание. Процесс ортогонализации Грамма–Шмидта может быть применен к любой, в том числе и к линейно зависимой, системе элементов евклидова пространства. Если ортогонализуемая система линейно зависима, то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отбрасывания которого можно продолжить процесс ортогонализации.