Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Операции с элементами линейного пространства в координатном представленииОпределение. Коэффициенты разложения называются координатами (или компонентами) элемента x линейного пространства в базисе .
Элемент линейного пространства в базисе однозначно представляется n -компонентным столбцом, называемым координатным представлением элемента в базисе : . В базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элемента линейного пространства при переходе от одного базиса к другому. Пусть в даны два базиса: “старый” и “новый” с соответствующими координатными разложениями элемента x:
и .
Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого”: (13.1)
Определение. Матрица S, j -й столбец которой состоит из коэффициентов координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса к базису .
Теорема 13.7 Координаты и связаны соотношениями , называемыми формулами перехода, где коэффициенты – элементы матрицы перехода .
Доказательство.
В силу соотношений (13.1) будут справедливы равенства
или .
Но если линейная комбинация линейно независимых (в данном случае, базисных) элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что .
Теорема доказана.
Пусть в некотором базисе
и ,
тогда в силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут справедливы следующие соотношения:
(1). Операция сравнения: два элемента в равны тогда и только тогда, когда ,
или в координатной форме
(2). Операция сложения: ,
или в координатной форме.
(3). Операция умножения на число:
,
или в координатной форме
Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.
|