Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Система n линейных уравнений с n неизвестными





Пусть дана квадратная система, т.е. m=n, , т.е. матрица системы квадратная и невырожденная. Δ=|А| - определитель системы.

Теорема 1. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет и притом единственное решение.

Доказательство. Покажем сначала единственность решения (в предположении, что оно существует). Пусть существуют n чисел х12,…,хn такие, что при подстановке в систему все уравнения системы обращаются в верные тождества:

(8)

Тогда умножая тождества (8) соответственно на алгебраические дополнения A1j, A2j,…,Anj элементов j-го столбца определителя D матрицы А= и складывая полученные при этом тождества, получим "j=1,2,…,n:

=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj.

Т.к., по свойствам определителя, , то из последнего равенства получаем, что xjD=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj (9)

Обозначим Δj – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Тогда равенство (9) примет вид: xjD=Δj.

В итоге получаем (j=1,2,…,n) (10) – формулы Крамера (Габриэль Крамер (1704-1752) – швейцарский математик).

Т.о., если решение квадратно системы существует, то оно однозначно определяется формулами (10).

Докажем теперь существование решения. Покажем, что rg (A|В)=rg A.

Т.к. D¹0, то rg A=n, а расширенная матрица (A|В) содержит только n строк, следовательно rg (A|В)£nÞ rg (A|В)=n=rg A ч.т.д.

Матричный способ решения СЛАУ (при помощи А-1).

Матричная запись СЛАУ: АХ=В. (6)

Т.к. матрица системы А квадратная и невырожденная, то существует обратная матрица А-1.Умножая слева обе части матричного равенства (2) на А-1, получим А-1(АХ)=А-1В. Т.к. А-1(АХ)= (А-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец:

Хnx1nxn-1Вnx1 (11)

Пример. , , , . х1=-4, х2=1, х3=2. А-1=

Date: 2015-09-02; view: 317; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию