Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует, т.е

Замечания:

1Как ранее сказано, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей , иногда для достижения цели производится повторное дифференцирование

2 Для раскрытия неопределенностей используйте

структурную схему «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»

(приложение Б)

3.1

3.2

3.3

Освободим знаменатель от сомножителя , поскольку , получим

.

3.4

Раскрытие неопределенности

Если при , то получаем неопределенность , необходимо с помощью тождественных преобразований свести ее к основным типам: .

3.5 [приведем к общему знаменателю]

.

3.6

= =

предел первого сомножителя находится элементарно:

К пределу второго сомножителя применим правило Лопиталя:

|упростим полученное выражение, в знаменателе sinx вынесем за скобку и сократим на sinx|= |применим правило Лопиталя| =

Таким образом, искомый предел равен

Раскрытие неопределенности

Пусть f(x)= , при х , то при х функция f(x) имеет неопределенность , ее можно привести к виду путем преобразований

Первое из этих выражений представляет при неопределенность вида

3.7

3.8

Раскрытие неопределенностей

Для функции в случаях:

получаем неопределенности соответственно вида:

Для раскрытие этих неопределенностей удобно воспользоваться основным логарифмическим тождеством

Рассмотрим . Для раскрытия этой неопределенности см. предыдущие примеры

3.9

3.10

3.11

3.12