Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная по направлению и градиентУже известно, что частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующей координатной оси. Попытаемся вычислить скорость изменения функции в произвольном направлении. Опред. Производной по направлению вектора = от функции f(x;y) называют . Обозначают производную по направлению . Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Пусть . Тогда х= Cos и у= Sin . Имеем с точностью до бесконечно малых порядка малости более высокого, чем х, равенство z= =f’x(х;y) х+ f’у(х;y) у= f’x(х;y) Cos + f’у(х;y) Sin . Разделим последнее равенство на и вычислим указанный в определении предел. Получим окончательно = f’x(х;y)Cos + f’у(х;y)Sin производную по направлению. Т.к. =90о - , то можно использовать направляющие косинусы вектора = и выражение для производной по направлению примет вид = f’x(х;y)Cos + f’у(х;y)Сos (5.2) Если же требуется вычислить производную по направлению для функции трех переменных, то получим формулу = f’x(х;y;z)Cos + f’у(х;y;z)Сos + f’z(х;y;z)Сos . Мы видим, что записанное справа выражение похоже на скалярное произведение двух векторов, один из которых единичный направления = . Для второго вектора введем обозначение grad f(x;y;z)= f’x(х;y;z) + f’у(х;y;z) + f’z(х;y;z) (5.3) Т.о. = grad f(x;y;z) = grad f(x;y;z) Cosф= grad f(x;y;z) Cosф откуда следует, что grad f указывает направление наибыстрейшего изменения поля. Это весьма важная физическая характеристика поля. Позже получим некоторые характеристики самого градиента.
|