Определение оператора Лапласа

Операционное исчисление.

Операционное исчисление является одной из важнейших глав математического анализа. Методы операционного исчисления используются в физике, механике, электротехнике и радиотехнике.

Создан метод операционного исчисления во второй половине Х1Х века, но широкое распространение получил позднее, когда с помощью этого метода были получены важные результаты в электротехнике.

Идея этого метода состоит в том, что надо найти функцию f(t) действительного переменного t, из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов.

Например, надо решить линейное дифференциальное уравнение

,

т.е. надо найти такую функцию x(t), которая удовлетворяла бы данному уравнению.

Операционный метод решения этой задачи сводится к четырем шагам.

1. От искомой функции x(t) переходят к функции x(p), которая называется изображением функции x(t).

2. Над функцией x(p) производятся операции, соответствующие операциям над x(t), т.е. получают уравнение относительно x(p). Эти операции над x(p) оказываются более простыми, чем операции над x(t).

3. Полученное уравнение решают относительно x(p), что сводится к простым алгебраическим действиям.

4. От найденного изображения переходят к искомой функции x(t).

Определение оператора Лапласа.

Рассмотрим функцию f(t), удовлетворяющую следующим условиям.

1. f(t) определена при t ≥ 0. Если f(t) определена при t < 0, то предполагается, что

f(t) ≡ 0.

1. f(t) и ее производная f′(t) непрерывны, за исключением быть может конечного числа точек разрыва первого рода.
2. Существуют постоянные М > 0 и s₀ ≥ 0 такие, что

Пусть p = a + i b – комплексное число с положительной действительной частью

(a > 0).