Решение систем дифференциальных уравнений

При решении системы ЛДУ с постоянными коэффициентами для каждой неизвестной функции вводится свое изображение и решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений для изображений.

Рассмотрим систему двух ЛДУ 1 порядка

x` (t) + a ₁₁ x (t) + a ₁₂ y (t) = f ₁(t) (18)

y` (t) + a ₂₁ x (t) + a ₂₂ y (t) = f ₂(t)

при начальных условиях x (0) = x ₀, y (0) = y ₀. Функции f ₁(t), f ₂(t) оригиналы.

Пусть x (t) =: F ₁(p), у (t) =: F ₂(p), f ₁(t) =: Ф ₁(p), f ₂(t) =: Ф ₂(p). Построим изображающее уравнение с учетом формулы (6), т.е. x` (t) =: pF <sub>1</sub>(p) - x <sub>0</sub>, y` (t) =: pF ₂(p) - y ₀

pF ₁(p) - x ₀ + a ₁₁ F ₁(p) + a ₁₂ F ₂(p) = Ф ₁(p) (19)

pF ₂(p) - y ₀ + a ₂₁ F ₁(p) + a ₂₂ F ₂(p) = Ф ₂(p)

Из решения системы находят F ₁(p), F ₂(p), а затем их оригиналы x (t), y (t).

Пр.21 При условии x (0) = y (0) = 0решить систему .

Т.к. t =: 1/ p ²(Пр.5), то система (18) принимает вид

Решение системы F ₁(p) = ; F ₂(p) = . Эти изображения разложим на сумму простейших дробей: F ₁(p) = - + - , F ₂(p) = - + + и по формулам № 1, 3 перейдем к оригиналам, которые дают решение исходной системы уравнений:

x (t) = – t + ½ e^t – ½ e^-t, y (t) = – 1 + ½ e^t + ½ e^-t.

Проверка. x` (t) – у (t) = [– 1 + ½ e^t + ½ e^-t ] – [– 1 + ½ e^t + ½ e^-t ] = 0

у` (t) – x (t) = [½ e^t – ½ e^-t ] – [– t + ½ e^t – ½ e^-t ] = t