Решение дифференциальных уравнений

Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоян-ными коэффициентами

y ^{( n )} + a ₁ y ^{( n – 1)} +... + a ₀ y = (t) (15)

где (t) является оригиналом (t) =: Ф (p) и заданы начальные условия вида y (0) = y ₀, y` (0) = y ₁, y`` (0) = y _2,..., y ^{( n – 1)}(0) = y_{n – 1} (задача Коши), то решение уравнения y (t) так же полагаем оригиналом и y (t) =: F (p). Перейдем в (15) по формулам (7), (8), (9) к изображению производных и получим линейное уравнение относительно F (p) (изображающее дифференциальное уравнение). Решим это уравнение и по изображению определим оригинал y (t) =: F (p), который и является решением задачи Коши.

В случае ЛДУ второго порядка y`` + a y` + by = (t)(16)

имеем y (0) = y ₀, y` (0) = y` _0, y (t) =: F (p), (t) =: Ф (p). По формулам (6), (7) имеем y `(t) =: p F (p) - y <sub>0</sub>, y ``(t) =: p <sup>2</sup> F (p) – p y <sub>0</sub> – y` ₀ и приходим к изобра- жающему уравнению

p ² F (p) – p y ₀ – y` ₀ + a [ p F (p) - y ₀ ] + b F (p) = Ф (p)

F (p) [ p ² + ap + b ] = Ф (p) + y` ₀ + (p + a) y ₀

Решение для изображения: F (p)= (17)

Пр.19 Решить ЛДУ y``+ 6 y`+ 9 y = 9 e <sup>3 t</sup> при условии y (0) = y `(0) = 0.

Решение 1. Пусть y (t) =: F (p), тогда y `(t) =: p F (p), y ``(t) =: p ² F (p), 9e^3t = (№3) и приходим к изображающему уравнению

p ² F (p) + 6p F (p) + 9 F (p) = или F (p)(p ² + 6 p + 9) = . Решение представим в виде суммы простейших дробей

F (p) = = + + и просуммируем их.

Числитель A (p + 3)² + B (p ² – 3²) + C (p – 3) = 9 приводит к системе 3 уравнений

p ² | A + B = 0 A = ¼ Переход от изображения к оригиналу

p ¹ | 6 A + C = 0 B = - ¼ по формулам № 3, 8 дает

p ⁰ | 9 A – 9 B – 3 C = 9 C = - 3/2

y (t) = ¼ e ^{3 t} - ¼ e ^{- 3 t} - 3/2 t e ^{-3 t}

Решение 2. Пусть y (t) =: F (p) и 9e^3t =: Ф (p). Решение изображающего уравнения F (p)(p ² + 6 p + 9) = Ф (p) представим в виде произведения двух изображений F (p) = Ф (p), которые соответствуют функциям t e ^{-3 t} и 9 e ^{3 t}. Оригинал решения есть свертка этих функций: y (t) = = = 9 = 9 e ^{3 t} = = = 9 e ^{3 t} { } = ¼ e ^{3 t} - ¼ e ^{- 3 t} - 3/2 t e ^{-3 t}

Задачи для самостоятельного решения

Пр. 20 y``- 2 y` - y = e <sup>3 t</sup> при условии y (0) = 0, y` (0) = 0

Ответ: F (p) = , y (t) = 1/16 e ^{- t} - 1/16 e ^{3 t} - ¼ t e ^{3 t}

Пр. 21 y``+ y` - 2 y = e<sup>t</sup> при условии y (0) = 0, y` (0) = 1

Ответ: F (p) = 1/ (p ² – 1), y (t) = sh t