Преобразование Лапласа

Элементы теории операционного исчисления

Пусть функция f (t)обладает следующими свойствами: 1⁰ f (t) 0при t < 0; 2⁰ | f (t)| < M при t > 0, где М > 0, т.е. f (t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s ₀ – показатель роста функции; 3⁰ На любом промежутке [ a, b ]положительной полуосивыполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F (p)(1)

где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F (p) 0. При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F (p) наз. изображением оригинала. Переход от f (t) к F (p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f (t) =: F (p) или F (p) =: f (t). Для значения f (t) в точке разрыва t ₀ выбирают f (t ₀) = ½ [ f (t ₀ - 0) + f (t ₀ + 0)]. При этих условиях между f (t) и F (p) существует взаимно – однозначное соответствие.

Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.