Интегрирование по частям

Интегрирование по частям – это, практически, формула интегрирования произведения двух функций.

Хорошо известна формула дифференциала произведения двух функций:

Проинтегрировав обе части данного равенства, получим:

,

т.к.

,

то

,

откуда

.

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям сводит нахождение интеграла к отысканию другого интеграла ; её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо подобен ему.

При этом в качестве берётся функция, которую проще продифференцировать, а в качестве берётся та часть подынтегрального выражения, которую проще проинтегрировать. Иногда формулу интегрирования по частям приходиться использовать несколько раз.

При применении формулы интегрирования по частям интегралы можно разбить на 3 основные группы:

1. В интегралах вида

,

где - многочлен переменной , - число, полагают

2. В интегралах вида

полагают

3. В интегралах вида

за принимают любую функцию, за соответственно оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Пример 1. Найти .

Решение. Данный интеграл относится к первой группе, поэтому

.

Пример 2. Найти .

Решение. Данный интеграл относится ко второй группе, поэтому положим

Тогда по формуле интегрирования по частям находим:

.

Пример 3. Найти .

Данный интеграл относится к первой группе, поэтому , по формуле интегрирования по частям имеем

.

Пример 4. Найти .

Решение. Интеграл относится к первой группе, поэтому , , тогда имеем

.

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, положив , тогда получим

.

Исходный интеграл равен

.

Пример5. Найти .

Решение. Данный интеграл относится ко второй группе, поэтому . По формуле интегрирования по частям получим

= .

Пример 6. Найти .

Решение. Данный интеграл относится к третьей группе, поэтому выбор и в данном случае произволен. Пусть , , тогда по формуле интегрирования по частям получим

.

Для второго интеграла применим ещё раз формулу интегрирования по частям:

,

тогда

.

Подставляя полученное выражение в соотношение для исходного интеграла, получим

.

Перенесём интеграл из правой части в левую, получим

Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

№1. №2.

№3. №4.

№5. №6.

№7. №8

№9. №10.

№11. №12.

№13. №14.

№15. №16.

№17. №18.

№19. №20.