Какая связь существует между неопределёнными и определёнными интегралами?

На определённый интеграл можно смотреть как функцию верхнего (или нижнего)

предела интегрирования, считая другой предел интегрирования фиксированным, то есть, если зафиксируем, например, число , то при любом мы будем получать свои величины, равные значению интеграла на отрезке .Тем самым, определяется некоторая функция , заданная на отрезке . Так функция определена и непрерывна на отрезке , то функция является дифференцируемой и является первообразной для функция , то есть имеем , и кроме того, справедливо равенство

. (теорема Ньютона-Лейбница)

Пусть есть другая первообразная для функции . Тогда поскольку , то

.

Это равенство имеет место для любой первообразной из семейства, образующего неопределённый интеграл. Неопределённый и определённый интегралы – это тесно связанные между собой понятия.

Теперь вернёмся к этому вопросу по другому.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и принимает лишь положительные (неотрицательные) значения. Рассмотрим фигуру ABCD (рис.1), ограниченную прямыми ; подобную фигуру, как сказано выше, будем называть криволинейной трапецией. С целью определения площади Р этой фигуры, исследуем поведение площади переменной фигуры AKLD, заключённой между начальной ординатой и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке значению . Очевидно, что при изменении площадь Р будет изменяться, причём каждому значению будет соответствовать определённое значение площади Р. Таким образом площадь криволинейной трапеции AKLD является некоторой функцией от ; обозначим её через . Найдём производную этой функции по известной схеме. А.именно, придадим некоторое приращение ; тогда площадь получит приращение

Рис. 1

Обозначим через m и M, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и сравним площадь с площадями прямоугольников, построенных на основании и имеющих высоты m и M. ясно, что

< < ,

поделив все части этих неравенств на , получим

m< <M

Если ,то m и M будут стремиться к , а тогда и

Таким образом, мы пришли к теореме Ньютона-Лейбница: производная от переменной площади по конечной абсциссе равна конечной ординате , то есть переменная площадь представляет собой первообразную функцию для данной функции . В ряду других первообразных данная первообразная отличается тем, что она обращается в нуль при . Следовательно, если известна какая-либо первообразная для функции , то . Полагая , находим C:

. Тогда .

Для получения площади P всей криволинейной трапеции ABCD нужно взять , тогда

.

Используя таблицу производных, можно получить таблицу основных интегралов:

1. ;

2. ;

3. , где а ≠ –1;

4. ;

5. :

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13.

14. ;

Свойства определённого интеграла

Упражнения.

Вычислить определённые интегралы

1. , 2. , 3. , 4. , 5. ,

6. , 7. , 8. , 9. , 10. ,

11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. ,

Вычислить неопределённые интегралы