Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції

Теорема. Якщо на проміжку функції і неперервні, мають особливу точку і задовольняють нерівність , то

Рис. 22

б) якщо розбігається інтеграл , то розбігається і інтеграл .

Ця достатня умова збіжності (чи розбіжності) невластивих інтегралів називається ознакою порівняння і за своїм геометричним тлумаченням цілком аналогічна до відповідної ознаки для невластивих інтегралі по нескінченному проміжку (див. рис. 22)

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Оскільки для всіх має місце нерівність , а і збігається (див. попередній приклад), то і заданий інтеграл збігається.

Теорема. (ознака порівняння в граничній формі)

Якщо функції і неперервні і приймають додатні значення в проміжку , а при мають особливу точку і існує границя то інтеграли і або обидва збігаються або обидва розбігаються.

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл

Функції і мають особливу точку . Оскільки існує границя і інтеграл розбігається, то розбігається і заданий інтеграл.

Ознаки порівняння придатні лише у випадку знакосталих підінтегральних функцій. Збіжність невластивого інтеграла від знакозмінної функції в деяких випадках можна виявити за допомогою наступної достатньої умови.

Теорема. Якщо функція має особливу точку на відрізку і інтеграл збігається, то збігається і інтеграл .

В цьому випадку інтеграл називають абсолютно збіжним. Якщо ж інтеграл збігається, а розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Підінтегральна функція має особливу точку . При цьому . Оскілки збігається , то збігається і , отже збігається (абсолютно) і заданий інтеграл.