Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку

Теорема. Якщо на проміжку функції і неперервні і задовольняють нерівність , то

а) якщо збігається інтеграл , то збігається і ;

б) якщо розбігається інтеграл , то розбігається .

Рис. 20

всередині аналогічної фігури, обмеженої згори графіком функції . Якщо площа більшої фігури є скінченне число (інтеграл збігається), то і площа меншої фігури є скінчене число (тобто збігається). Якщо ж площа меншої фігури нескінченно велика, то і площа більшої фігури нескінченно велика (інтеграли розбігаються).

Приклади. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) . Оскільки для всіх має місце нерівність , а і збігається (див. попередній приклад, ) то і заданий інтеграл збігається.

б) . Цей інтеграл розбігається, тому що для будь-якого

, а інтеграл розбігається .

Теорема (ознака порівняння у граничній формі)

Якщо функції і неперервні і приймають додатні значення в проміжку і існує границя , то інтеграли і або обидва збігаються, або обидва розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою ніж попередня, бо не вимагає перевірки нерівності .

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл .

Знайдемо границю

Оскільки розбігається, то і заданий інтеграл розбігається.

Розглянуті ознаки діють лише при невід’ємних підінтегральних функціях. Якщо ж підінтегральна функція знакозмінна, то в деяких випадках збіжність інтеграла можна встановити за допомогою наступної достатньої ознаки:

Теорема. Якщо збігається інтеграл , то збігається і інтеграл .

В цьому разі інтеграл називають абсолютно збіжним.

Підкреслимо, що дана теорема встановлює достатню, але не необхідну умову збіжності. Тобто для збіжного інтеграла інтеграл може виявитися розбіжним. В такому разі інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним. Отже дана теорема дозволяє виявляти абсолютну збіжність інтеграла від знакозмінної функції, користуючись ознаками збіжності інтегралів від невід’ємних функцій .

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оцінимо її абсолютну величину: Оскільки інтеграл збігається (тому що ), то збігається і заданий інтеграл (при чому абсолютно).

Як уже сказано вище, для знакозмінної підінтегральної функції розглянута ознака виявляє лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо абсолютної збіжності немає, то подальше дослідження інтеграла вимагає застосування більш тонких ознак, які тут не розглядаються.